Номер 1230, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1230. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $DC$ четырехугольника $ABCD$, отрезки $BN$ и $CM$, $AN$ и $DM$ пересекаются в точках $P$ и $Q$ соответственно (рис. 360). Докажите, что если $MPNQ$ — параллелограмм, то $ABCD$ — также параллелограмм.

Доказательство утверждения можно разбить на два основных этапа. Сначала мы покажем, что условие "четырехугольник MPNQ является параллелограммом" эквивалентно тому, что прямые, содержащие определенные отрезки, попарно параллельны. Затем мы докажем, что из этой параллельности следует, что исходный четырехугольник ABCD также является параллелограммом.

Этап 1: Эквивалентность условий

Докажем, что четырехугольник $MPNQ$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия: $DM \parallel BN$ и $CM \parallel AN$.

Необходимость ($\Rightarrow$):Пусть $MPNQ$ — параллелограмм. По определению, его противоположные стороны параллельны, то есть $MQ \parallel PN$ и $MP \parallel QN$. Рассмотрим пару сторон $MQ$ и $PN$. По условию, точка $Q$ является точкой пересечения отрезков $AN$ и $DM$. Это означает, что точки $D, Q, M$ лежат на одной прямой. Следовательно, отрезок $MQ$ лежит на прямой $DM$. Аналогично, точка $P$ является точкой пересечения отрезков $BN$ и $CM$. Это означает, что точки $B, P, N$ лежат на одной прямой. Следовательно, отрезок $PN$ лежит на прямой $BN$. Из условия $MQ \parallel PN$ следует параллельность прямых, на которых лежат эти отрезки, то есть $DM \parallel BN$. Теперь рассмотрим пару сторон $MP$ и $QN$. Точки $C, P, M$ лежат на одной прямой $CM$. Точки $A, Q, N$ лежат на одной прямой $AN$. Из условия $MP \parallel QN$ следует, что $CM \parallel AN$. Таким образом, если $MPNQ$ — параллелограмм, то $DM \parallel BN$ и $CM \parallel AN$.

Достаточность ($\Leftarrow$):Пусть теперь известно, что $DM \parallel BN$ и $CM \parallel AN$. Рассмотрим стороны четырехугольника $MPNQ$. Сторона $MQ$ лежит на прямой $DM$. Сторона $PN$ лежит на прямой $BN$. Так как $DM \parallel BN$, то $MQ \parallel PN$. Сторона $MP$ лежит на прямой $CM$. Сторона $QN$ лежит на прямой $AN$. Так как $CM \parallel AN$, то $MP \parallel QN$. Поскольку в четырехугольнике $MPNQ$ противоположные стороны попарно параллельны, он является параллелограммом по определению.

Эквивалентность доказана. Теперь задача сводится к доказательству того, что если $DM \parallel BN$ и $CM \parallel AN$, то $ABCD$ — параллелограмм.

Этап 2: Векторное доказательство

Используем векторный метод. Примем точку $A$ за начало координат, тогда $\vec{A} = \vec{0}$. Положение вершин четырехугольника задается векторами $\vec{B}$, $\vec{C}$ и $\vec{D}$. Поскольку $M$ — середина стороны $AB$, ее радиус-вектор равен $\vec{M} = \frac{\vec{A}+\vec{B}}{2} = \frac{\vec{B}}{2}$. Поскольку $N$ — середина стороны $DC$, ее радиус-вектор равен $\vec{N} = \frac{\vec{D}+\vec{C}}{2}$.

Запишем условия параллельности в векторной форме. Условие $CM \parallel AN$ означает, что векторы $\vec{CM}$ и $\vec{AN}$ коллинеарны, то есть существует такое скалярное число $l$, что $\vec{CM} = l \cdot \vec{AN}$.$\vec{M} - \vec{C} = l (\vec{N} - \vec{A})$$\frac{\vec{B}}{2} - \vec{C} = l \left(\frac{\vec{D}+\vec{C}}{2}\right)$Умножая обе части на 2, получаем:$\vec{B} - 2\vec{C} = l\vec{D} + l\vec{C}$$\vec{B} - (2+l)\vec{C} - l\vec{D} = \vec{0} \quad (1)$

Условие $DM \parallel BN$ означает, что векторы $\vec{DM}$ и $\vec{BN}$ коллинеарны, то есть существует такое скалярное число $k$, что $\vec{DM} = k \cdot \vec{BN}$.$\vec{M} - \vec{D} = k (\vec{N} - \vec{B})$$\frac{\vec{B}}{2} - \vec{D} = k \left(\frac{\vec{D}+\vec{C}}{2} - \vec{B}\right)$Умножая обе части на 2, получаем:$\vec{B} - 2\vec{D} = k\vec{D} + k\vec{C} - 2k\vec{B}$$(1+2k)\vec{B} - k\vec{C} - (2+k)\vec{D} = \vec{0} \quad (2)$

Так как точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости, векторы $\vec{B}$, $\vec{C}$ и $\vec{D}$ компланарны. Предположим, что точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, тогда векторы $\vec{B}$ и $\vec{C}$ неколлинеарны и могут быть выбраны в качестве базиса на плоскости. В этом базисе вектор $\vec{D}$ можно представить в виде линейной комбинации: $\vec{D} = \alpha\vec{B} + \beta\vec{C}$.

Подставим это выражение для $\vec{D}$ в уравнение (1):$\vec{B} - (2+l)\vec{C} - l(\alpha\vec{B} + \beta\vec{C}) = \vec{0}$$(1 - l\alpha)\vec{B} + (-2-l-l\beta)\vec{C} = \vec{0}$В силу линейной независимости векторов $\vec{B}$ и $\vec{C}$, коэффициенты при них должны быть равны нулю:$1 - l\alpha = 0 \implies l\alpha = 1$$-2-l-l\beta = 0 \implies l(1+\beta) = -2$

Теперь подставим выражение для $\vec{D}$ в уравнение (2):$(1+2k)\vec{B} - k\vec{C} - (2+k)(\alpha\vec{B} + \beta\vec{C}) = \vec{0}$$(1+2k - \alpha(2+k))\vec{B} + (-k-\beta(2+k))\vec{C} = \vec{0}$Коэффициенты при $\vec{B}$ и $\vec{C}$ также должны быть равны нулю:$1+2k - 2\alpha - k\alpha = 0$$-k - 2\beta - k\beta = 0 \implies k(1+\beta) = -2\beta$

Решим полученную систему уравнений относительно $\alpha, \beta, k, l$. Из $l(1+\beta) = -2$ выразим $1+\beta = -2/l$. Подставим в $k(1+\beta) = -2\beta$:$k(-2/l) = -2\beta \implies \beta = k/l$. Подставим это значение $\beta$ обратно в выражение для $1+\beta$:$1 + k/l = -2/l \implies l+k = -2 \implies k = -2-l$. Из $l\alpha = 1$ выразим $\alpha = 1/l$. Подставим $\alpha$ и $k$ в уравнение $1+2k - 2\alpha - k\alpha = 0$:$1+2(-2-l) - 2(1/l) - (-2-l)(1/l) = 0$$1 - 4 - 2l - 2/l - (-2/l - 1) = 0$$-3 - 2l - 2/l + 2/l + 1 = 0$$-2 - 2l = 0 \implies 2l = -2 \implies l = -1$.

Зная $l$, находим $\alpha$ и $\beta$:$\alpha = 1/l = 1/(-1) = -1$.$1+\beta = -2/l = -2/(-1) = 2 \implies \beta = 1$. Таким образом, мы установили связь между векторами: $\vec{D} = -1\cdot\vec{B} + 1\cdot\vec{C} = \vec{C}-\vec{B}$.

Это равенство имеет ясный геометрический смысл. Вспомним, что $\vec{A}=\vec{0}$. Вектор стороны $AD$ равен $\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \vec{D}$. Вектор стороны $BC$ равен $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}$. Из равенства $\vec{D} = \vec{C}-\vec{B}$ следует, что $\vec{AD} = \vec{BC}$. Равенство векторов означает, что они сонаправлены и равны по длине. Следовательно, отрезки $AD$ и $BC$ параллельны и равны. Это является достаточным признаком того, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, представленное в задаче, доказано.