Номер 1225, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1225. На сторонах $BC$, $AC$, $AB$ треугольника $ABC$ вне его построены квадраты с центрами $A_1$, $B_1$, $C_1$. Докажите, что выполняется равенство

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$.

Для доказательства равенства воспользуемся векторным методом. Пусть $A, B, C$ — вершины треугольника, а $A_1, B_1, C_1$ — центры квадратов, построенных на сторонах $BC, AC, AB$ соответственно. Введем на плоскости произвольную точку $O$ в качестве начала координат. Тогда положение любой точки $X$ можно задать ее радиус-вектором $\vec{x} = \vec{OX}$. Обозначим радиус-векторы точек $A, B, C$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, а центров квадратов — как $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}$.

Требуется доказать, что $\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$. Выразим эту сумму через радиус-векторы:

$(\vec{a_1} - \vec{a}) + (\vec{b_1} - \vec{b}) + (\vec{c_1} - \vec{c}) = \vec{0}$

Найдем радиус-векторы центров квадратов. Центр $A_1$ квадрата, построенного на стороне $BC$, находится на расстоянии, равном половине длины стороны $BC$, от середины этой стороны по перпендикуляру, направленному во внешнюю сторону.

Пусть $M_{BC}$ — середина стороны $BC$. Ее радиус-вектор $\vec{m}_{BC} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$. Вектор, идущий вдоль стороны, — это $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$.

Введем оператор $R$ — поворот вектора на $90^\circ$ против часовой стрелки. Будем считать, что вершины треугольника $A, B, C$ расположены в порядке обхода против часовой стрелки. Тогда, чтобы получить вектор, направленный из середины стороны вовне, необходимо повернуть вектор стороны по часовой стрелке на $90^\circ$. Поворот по часовой стрелке на $90^\circ$ эквивалентен действию оператора $-R$.

Таким образом, вектор от середины $M_{BC}$ к центру $A_1$ равен $\vec{M_{BC}A_1} = -R(\frac{1}{2}\vec{BC}) = -\frac{1}{2}R(\vec{c} - \vec{b})$.

Тогда радиус-вектор центра $A_1$ равен:

$\vec{a_1} = \vec{m}_{BC} + \vec{M_{BC}A_1} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{1}{2}R(\vec{c} - \vec{b})$

Для того чтобы направления "вовне" были определены согласованно, будем использовать векторы сторон, взятые в циклическом порядке: $\vec{BC}, \vec{CA}, \vec{AB}$. Их сумма равна нулевому вектору: $(\vec{c}-\vec{b}) + (\vec{a}-\vec{c}) + (\vec{b}-\vec{a}) = \vec{0}$.

Аналогично находим радиус-векторы центров $B_1$ (на стороне $AC$, используем вектор $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c}$) и $C_1$ (на стороне $AB$, используем вектор $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$):

$\vec{b_1} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \frac{1}{2}R(\vec{a} - \vec{c})$

$\vec{c_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \frac{1}{2}R(\vec{b} - \vec{a})$

Теперь подставим эти выражения в сумму $\vec{S} = \vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1}$, которую мы хотим доказать равной нулю:

$\vec{S} = (\vec{a_1} - \vec{a}) + (\vec{b_1} - \vec{b}) + (\vec{c_1} - \vec{c})$

$\vec{S} = \left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{1}{2}R(\vec{c} - \vec{b}) - \vec{a}\right) + \left(\frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \frac{1}{2}R(\vec{a} - \vec{c}) - \vec{b}\right) + \left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \frac{1}{2}R(\vec{b} - \vec{a}) - \vec{c}\right)$

Сгруппируем слагаемые. Сначала слагаемые без оператора поворота $R$:

$\left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a}\right) + \left(\frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \vec{b}\right) + \left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c}\right) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a} + \vec{c} + \vec{a} - 2\vec{b} + \vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c})$

$\frac{1}{2}((\vec{a} + \vec{a} - 2\vec{a}) + (\vec{b} - 2\vec{b} + \vec{b}) + (\vec{c} + \vec{c} - 2\vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{0} + \vec{0}) = \vec{0}$

Теперь сгруппируем слагаемые с оператором поворота $R$. Так как оператор поворота является линейным ($R(\vec{u}+\vec{v}) = R(\vec{u})+R(\vec{v})$ и $R(k\vec{u}) = kR(\vec{u})$), мы можем вынести его за скобки:

$-\frac{1}{2}R(\vec{c} - \vec{b}) - \frac{1}{2}R(\vec{a} - \vec{c}) - \frac{1}{2}R(\vec{b} - \vec{a}) = -\frac{1}{2}R\left( (\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{a} - \vec{c}) + (\vec{b} - \vec{a}) \right)$

Сумма векторов в скобках равна:

$(\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{a} - \vec{c}) + (\vec{b} - \vec{a}) = (\vec{c}-\vec{c}) + (\vec{a}-\vec{a}) + (\vec{b}-\vec{b}) = \vec{0}$

Следовательно, вторая часть суммы также равна $\vec{0}$:

$-\frac{1}{2}R(\vec{0}) = \vec{0}$

В итоге, общая сумма $\vec{S}$ равна сумме двух нулевых векторов:

$\vec{S} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$

Таким образом, равенство $\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$ доказано.

Ответ: Равенство доказано.