Номер 1220, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1220. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $CD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$, $Q$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $BM$. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм, учитывая, что $AQ : QN = 2 : 3$ и $BQ : QM = 4 : 1$.

Доказательство

Воспользуемся векторным методом. Введем начало координат в вершине A. Обозначим векторы сторон $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AD} = \vec{d}$, а также вектор диагонали $\vec{AC} = \vec{c}$. Для того чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм, необходимо и достаточно показать, что выполняется равенство $\vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$ (правило параллелограмма).

Выразим векторы положения точек M, N и Q относительно точки A.

Поскольку M — середина AD, то ее вектор положения $\vec{AM}$ равен:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{d}$

Поскольку N — середина CD, то вектор $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{d} - \vec{c}$. Вектор $\vec{AN}$ можно найти как сумму векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CN}$:

$\vec{AN} = \vec{AC} + \vec{CN} = \vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{CD} = \vec{c} + \frac{1}{2}(\vec{d} - \vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})$

Теперь выразим вектор положения точки Q, $\vec{AQ}$, двумя способами, используя условия задачи.

С одной стороны, точка Q делит отрезок AN в отношении $AQ : QN = 2 : 3$. Следовательно:

$\vec{AQ} = \frac{2}{2+3}\vec{AN} = \frac{2}{5}\vec{AN} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) = \frac{1}{5}(\vec{c} + \vec{d})$

С другой стороны, точка Q делит отрезок BM в отношении $BQ : QM = 4 : 1$. Ее вектор положения можно найти по формуле деления отрезка для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AM}$, отложенных от точки A:

$\vec{AQ} = \frac{1 \cdot \vec{AB} + 4 \cdot \vec{AM}}{1+4} = \frac{1}{5}(\vec{AB} + 4\vec{AM}) = \frac{1}{5}(\vec{b} + 4 \cdot \frac{1}{2}\vec{d}) = \frac{1}{5}(\vec{b} + 2\vec{d})$

Приравняем два полученных выражения для вектора $\vec{AQ}$:

$\frac{1}{5}(\vec{c} + \vec{d}) = \frac{1}{5}(\vec{b} + 2\vec{d})$

Умножив обе части на 5, получаем:

$\vec{c} + \vec{d} = \vec{b} + 2\vec{d}$

Выразим из этого равенства вектор $\vec{c}$:

$\vec{c} = \vec{b} + 2\vec{d} - \vec{d}$

$\vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$

Мы получили равенство $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Это равенство является векторным признаком параллелограмма. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что ABCD — параллелограмм.