Номер 1213, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1213. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ некомпланарны, $\vec{p} = \vec{a} + u\vec{b}$, $\vec{q} = \vec{b} + v\vec{c}$, $\vec{r} = \vec{c} + w\vec{a}$. Докажите, что каждые два из векторов $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ неколлинеарны. Какому условию должны удовлетворять числа $u, v, w$, чтобы векторы $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ были компланарны?

Докажите, что каждые два из векторов $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ неколлинеарны.

Два вектора называются коллинеарными, если один из них можно выразить как другой, умноженный на некоторый скаляр. Мы докажем утверждение для каждой пары векторов методом от противного.

1. Пара векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$

Предположим, что векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ коллинеарны. Это означает, что существует такое число $k$, что $\vec{p} = k\vec{q}$. Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$:

$\vec{a} + u\vec{b} = k(\vec{b} + v\vec{c})$

$\vec{a} + u\vec{b} = k\vec{b} + kv\vec{c}$

Перегруппируем члены уравнения:

$\vec{a} + (u-k)\vec{b} - kv\vec{c} = \vec{0}$

По условию, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ некомпланарны, что означает их линейную независимость. Линейная комбинация линейно независимых векторов равна нулевому вектору только в том случае, если все ее коэффициенты равны нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 1 = 0 \\ u-k = 0 \\ -kv = 0 \end{cases}$

Первое уравнение, $1 = 0$, является ложным. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ неколлинеарны.

2. Пара векторов $\vec{q}$ и $\vec{r}$

Предположим, что векторы $\vec{q}$ и $\vec{r}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $m$, что $\vec{q} = m\vec{r}$:

$\vec{b} + v\vec{c} = m(\vec{c} + w\vec{a})$

$\vec{b} + v\vec{c} = m\vec{c} + mw\vec{a}$

$-mw\vec{a} + \vec{b} + (v-m)\vec{c} = \vec{0}$

В силу линейной независимости векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, коэффициенты должны быть равны нулю:

$\begin{cases} -mw = 0 \\ 1 = 0 \\ v-m = 0 \end{cases}$

Второе уравнение, $1=0$, является противоречием. Следовательно, векторы $\vec{q}$ и $\vec{r}$ неколлинеарны.

3. Пара векторов $\vec{r}$ и $\vec{p}$

Предположим, что векторы $\vec{r}$ и $\vec{p}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $n$, что $\vec{r} = n\vec{p}$:

$\vec{c} + w\vec{a} = n(\vec{a} + u\vec{b})$

$\vec{c} + w\vec{a} = n\vec{a} + nu\vec{b}$

$(w-n)\vec{a} - nu\vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$

Из-за линейной независимости векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, получаем систему:

$\begin{cases} w-n = 0 \\ -nu = 0 \\ 1 = 0 \end{cases}$

Третье уравнение, $1=0$, является противоречием. Следовательно, векторы $\vec{r}$ и $\vec{p}$ неколлинеарны.

Таким образом, мы доказали, что любые два из векторов $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ не являются коллинеарными.

Ответ: Доказательство основано на линейной независимости некомпланарных векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Приравнивание любой пары векторов $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ через скалярный множитель приводит к противоречию, такому как $1=0$.

Какому условию должны удовлетворять числа $u, v, w$, чтобы векторы $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ были компланарны?

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение векторов $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ есть скаляр, равный $(\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}) = \vec{p} \cdot (\vec{q} \times \vec{r})$.

Найдем векторное произведение $\vec{q} \times \vec{r}$:

$\vec{q} \times \vec{r} = (\vec{b} + v\vec{c}) \times (\vec{c} + w\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} + w(\vec{b} \times \vec{a}) + v(\vec{c} \times \vec{c}) + vw(\vec{c} \times \vec{a})$

Поскольку $\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$ и $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$, выражение упрощается до:

$\vec{q} \times \vec{r} = \vec{b} \times \vec{c} - w(\vec{a} \times \vec{b}) + vw(\vec{c} \times \vec{a})$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{p}$ на полученный вектор:

$(\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}) = (\vec{a} + u\vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} - w(\vec{a} \times \vec{b}) + vw(\vec{c} \times \vec{a}))$

Раскрывая скобки, получаем сумму смешанных произведений:

$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - w \cdot \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + vw \cdot \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + u \cdot \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - uw \cdot \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + uvw \cdot \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$

Обозначим смешанное произведение базисных векторов $V = (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$. Так как векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ некомпланарны, их смешанное произведение $V \neq 0$.

Смешанное произведение, содержащее одинаковые векторы, равно нулю. Также, $(\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}) = (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = V$. Используя эти свойства, упростим выражение:

$(\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}) = V - w(0) + vw(0) + u(0) - uw(0) + uvw \cdot V$

$(\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}) = V + uvwV = V(1 + uvw)$

Условие компланарности векторов $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ — это равенство их смешанного произведения нулю:

$V(1 + uvw) = 0$

Так как $V \neq 0$, то для выполнения равенства необходимо, чтобы:

$1 + uvw = 0$

Отсюда получаем искомое условие:

$uvw = -1$

Ответ: Чтобы векторы $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ были компланарны, числа $u, v, w$ должны удовлетворять условию $uvw = -1$.