Номер 1214, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1214. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{AB_1}$ через векторы $\vec{BC_1}$, $\vec{CD_1}$, $\vec{DA_1}$.

Для решения задачи выразим искомый вектор $\vec{AB_1}$ и заданные векторы $\vec{BC_1}$, $\vec{CD_1}$, $\vec{DA_1}$ через три некомпланарных вектора (базис), отложенных от одной вершины, например, от вершины A. В качестве базисных векторов выберем $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

1. Сначала выразим искомый вектор $\vec{AB_1}$ через базис. По правилу сложения векторов для параллелограмма $ABB_1A_1$ имеем:
$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$.

2. Теперь выразим через базис векторы, данные в условии задачи, используя свойства векторов в параллелепипеде:

- Для вектора $\vec{BC_1}$: по правилу сложения векторов $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.
Так как $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$, получаем:
$\vec{BC_1} = \vec{b} + \vec{c}$.

- Для вектора $\vec{CD_1}$: по правилу сложения векторов $\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1}$.
Так как $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{AB} = -\vec{a}$ и $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$, получаем:
$\vec{CD_1} = -\vec{a} + \vec{c}$.

- Для вектора $\vec{DA_1}$: по правилу сложения векторов $\vec{DA_1} = \vec{DA} + \vec{AA_1}$.
Так как $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$, получаем:
$\vec{DA_1} = -\vec{b} + \vec{c}$.

3. Теперь найдем представление вектора $\vec{AB_1}$ в виде линейной комбинации векторов $\vec{BC_1}$, $\vec{CD_1}$ и $\vec{DA_1}$. Пусть существуют такие коэффициенты $x, y, z$, что:
$\vec{AB_1} = x \cdot \vec{BC_1} + y \cdot \vec{CD_1} + z \cdot \vec{DA_1}$.

Подставим в это равенство выражения для векторов через базис $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:
$\vec{a} + \vec{c} = x(\vec{b} + \vec{c}) + y(-\vec{a} + \vec{c}) + z(-\vec{b} + \vec{c})$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при базисных векторах:
$\vec{a} + 0 \cdot \vec{b} + \vec{c} = x\vec{b} + x\vec{c} - y\vec{a} + y\vec{c} - z\vec{b} + z\vec{c}$
$1 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b} + 1 \cdot \vec{c} = (-y)\vec{a} + (x-z)\vec{b} + (x+y+z)\vec{c}$.

Так как векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ линейно независимы (некомпланарны), то равенство векторов возможно только при равенстве их соответствующих координат (коэффициентов). Приравняем коэффициенты при $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ в левой и правой частях уравнения. Получим систему линейных уравнений:$$\begin{cases} -y = 1 \\ x - z = 0 \\ x + y + z = 1\end{cases}$$

Решим систему:
Из первого уравнения сразу получаем $y = -1$.
Из второго уравнения следует, что $x = z$.
Подставим найденные значения $y$ и $x$ в третье уравнение:
$z + (-1) + z = 1$
$2z - 1 = 1$
$2z = 2$
$z = 1$.
Поскольку $x=z$, то $x=1$.

Итак, мы нашли коэффициенты разложения: $x=1, y=-1, z=1$.

Подставим эти коэффициенты в искомое выражение:
$\vec{AB_1} = 1 \cdot \vec{BC_1} + (-1) \cdot \vec{CD_1} + 1 \cdot \vec{DA_1}$.

Ответ: $\vec{AB_1} = \vec{BC_1} - \vec{CD_1} + \vec{DA_1}$.