Номер 1211, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1211. Определите, при каких условиях:

а) вектор $\vec{a} + \vec{b}$ разделяет пополам угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$;

б) векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ образуют прямой угол.

а) вектор $\vec{a} + \vec{b}$ разделяет пополам угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Геометрически, сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенных от одной точки, представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах. Эта диагональ является биссектрисой угла между сторонами ($\vec{a}$ и $\vec{b}$) тогда и только тогда, когда этот параллелограмм является ромбом.

У ромба все стороны равны. В нашем случае стороны параллелограмма — это векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, их длины (модули) должны быть равны.

Алгебраически, условие того, что вектор $\vec{a} + \vec{b}$ является биссектрисой угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, означает, что углы между вектором $\vec{a}$ и вектором $\vec{a}+\vec{b}$ и между вектором $\vec{b}$ и вектором $\vec{a}+\vec{b}$ равны. Это приводит к условию равенства косинусов этих углов (при условии, что углы находятся в диапазоне от 0 до 180 градусов):

$\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}}) = \cos(\widehat{\vec{b}, \vec{a}+\vec{b}})$

Используя определение скалярного произведения $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| |\vec{y}| \cos(\theta)$, получаем:

$\frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a}| |\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{b}| |\vec{a} + \vec{b}|}$

При условии, что $\vec{a} + \vec{b} \neq \vec{0}$ (т.е. векторы не являются противоположно направленными), и сами векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, мы можем упростить выражение:

$\frac{\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

Так как $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$, получаем:

$\frac{|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2}{|\vec{b}|}$

$|\vec{a}| + \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} = |\vec{b}| + \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

$|\vec{a}| - |\vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b} \left(\frac{1}{|\vec{b}|} - \frac{1}{|\vec{a}|}\right) = \vec{a} \cdot \vec{b} \frac{|\vec{a}| - |\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$(|\vec{a}| - |\vec{b}|) \left(1 - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:
1. $|\vec{a}| - |\vec{b}| = 0$, то есть $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
2. $1 - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = 0$, что означает, что косинус угла между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 1. Это возможно, если векторы сонаправлены. В этом случае угол между ними равен 0, и вектор $\vec{a}+\vec{b}$ также сонаправлен им, то есть является биссектрисой. Этот случай также подпадает под условие $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, если рассматривать его как частный.

Таким образом, основное условие — равенство модулей векторов. Необходимо также исключить случай, когда векторы противоположны ($\vec{b} = -\vec{a}$), так как их сумма $\vec{a}+\vec{b}$ будет нулевым вектором, который не имеет направления и не может быть биссектрисой.

Ответ: условие выполняется, если модули векторов равны, то есть $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, и векторы не являются противоположно направленными.

б) векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ образуют прямой угол

Два ненулевых вектора образуют прямой угол (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю. Если один из векторов нулевой, он также считается ортогональным любому другому вектору.

Таким образом, должно выполняться условие:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (формула разности квадратов):

$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

Поскольку скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), средние члены взаимно уничтожаются:

$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Следовательно:

$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$

Отсюда получаем:

$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$

Так как модули векторов — величины неотрицательные, извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства:

$|\vec{a}| = |\vec{b}|$

Геометрически векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ представляют собой диагонали параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Диагонали параллелограмма перпендикулярны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм является ромбом, то есть когда длины его смежных сторон равны.

Ответ: условие выполняется, если модули векторов равны, то есть $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.