Номер 1204, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1204. Запишите условие касания сфер $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = R_1^2$ и $(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2 = R_2^2$.

Условие касания двух сфер заключается в том, что расстояние между их центрами $d$ должно быть равно либо сумме их радиусов (внешнее касание), либо модулю разности их радиусов (внутреннее касание).

Из данных уравнений определим центры и радиусы каждой сферы:
Первая сфера: центр $C_1(x_1, y_1, z_1)$ и радиус $R_1$.
Вторая сфера: центр $C_2(x_2, y_2, z_2)$ и радиус $R_2$.

Квадрат расстояния $d^2$ между центрами $C_1$ и $C_2$ вычисляется по формуле:
$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Рассмотрим два возможных случая касания.

1. Внешнее касание
При внешнем касании расстояние между центрами сфер равно сумме их радиусов:
$d = R_1 + R_2$.
Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем:
$d^2 = (R_1 + R_2)^2$.
Подставив выражение для $d^2$, получаем условие внешнего касания:
$(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = (R_1 + R_2)^2$.

2. Внутреннее касание
При внутреннем касании одна сфера находится внутри другой, и расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов:
$d = |R_1 - R_2|$.
Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем:
$d^2 = (|R_1 - R_2|)^2 = (R_1 - R_2)^2$.
Подставив выражение для $d^2$, получаем условие внутреннего касания:
$(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = (R_1 - R_2)^2$.

Следовательно, общее условие касания двух сфер состоит в том, что должно выполняться одно из двух полученных равенств.

Ответ: Условие касания двух сфер выражается совокупностью двух уравнений: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = (R_1 + R_2)^2$ (внешнее касание) или $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = (R_1 - R_2)^2$ (внутреннее касание).