Номер 1199, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1199. Найдите координаты проекции точки A(1; -1; 3) на плоскость:

a) $x - z = 0;$

б) $2x - y - z - 3 = 0.$

а)

Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Алгоритм нахождения координат проекции $P(x_p; y_p; z_p)$ точки $A(x_A; y_A; z_A)$ на плоскость $ax+by+cz+d=0$ следующий:
1. Найти вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (a; b; c)$. Этот вектор будет направляющим для прямой, перпендикулярной плоскости.
2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $A$ с направляющим вектором $\vec{n}$.
3. Найти точку пересечения этой прямой с плоскостью, подставив параметрические уравнения в уравнение плоскости и решив полученное уравнение относительно параметра $t$.
4. Подставить найденное значение параметра $t$ в параметрические уравнения прямой, чтобы найти координаты точки проекции.

Дана точка $A(1; -1; 3)$ и плоскость $x - z = 0$.

1. Нормальный вектор плоскости $1x + 0y - 1z + 0 = 0$ имеет координаты $\vec{n} = (1; 0; -1)$.

2. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $A(1; -1; 3)$ перпендикулярно плоскости:
$ \begin{cases} x = 1 + 1 \cdot t \\ y = -1 + 0 \cdot t \\ z = 3 + (-1) \cdot t \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 \\ z = 3 - t \end{cases} $

3. Подставим эти выражения для $x, y, z$ в уравнение плоскости $x - z = 0$:
$(1 + t) - (3 - t) = 0$
$1 + t - 3 + t = 0$
$2t - 2 = 0$
$2t = 2 \implies t = 1$

4. Подставим значение $t = 1$ в параметрические уравнения прямой, чтобы найти координаты проекции:
$x = 1 + 1 = 2$
$y = -1$
$z = 3 - 1 = 2$

Координаты проекции: $(2; -1; 2)$.

Ответ: $(2; -1; 2)$.

б)

Найдем координаты проекции точки $A(1; -1; 3)$ на плоскость $2x - y - z - 3 = 0$, используя тот же алгоритм.

1. Нормальный вектор плоскости $2x - y - z - 3 = 0$ имеет координаты $\vec{n} = (2; -1; -1)$.

2. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $A(1; -1; 3)$ перпендикулярно плоскости:
$ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 3 - t \end{cases} $

3. Подставим выражения для $x, y, z$ в уравнение плоскости $2x - y - z - 3 = 0$:
$2(1 + 2t) - (-1 - t) - (3 - t) - 3 = 0$
$2 + 4t + 1 + t - 3 + t - 3 = 0$
$(4t + t + t) + (2 + 1 - 3 - 3) = 0$
$6t - 3 = 0$
$6t = 3 \implies t = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

4. Подставим значение $t = \frac{1}{2}$ в параметрические уравнения прямой:
$x = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2$
$y = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{2}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$
$z = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Координаты проекции: $(2; -\frac{3}{2}; \frac{5}{2})$.

Ответ: $(2; -\frac{3}{2}; \frac{5}{2})$.