Номер 1192, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1192. Изобразите в тетради оси $Ox, Oy, Oz$ системы координат. Покажите на рисунке точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $x + y - 2z + 6 = 0$, учитывая, что:

a) $A(2; 0; -1), B(-2; -2; 1)$;

б) $A(2; 0; 1), B(1; -3; 0)$.

Чтобы найти точку пересечения прямой AB с плоскостью, необходимо составить параметрические уравнения прямой AB, а затем подставить их в уравнение плоскости. Это позволит найти значение параметра $t$, соответствующее точке пересечения, и, следовательно, координаты самой точки.

Уравнение плоскости дано: $x + y - 2z + 6 = 0$.

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, имеют вид:
$x = x_1 + (x_2 - x_1)t$
$y = y_1 + (y_2 - y_1)t$
$z = z_1 + (z_2 - z_1)t$

Даны точки $A(2; 0; -1)$ и $B(-2; -2; 1)$.

1. Составим параметрические уравнения прямой AB. Направляющий вектор $\vec{AB} = (-2-2; -2-0; 1-(-1)) = (-4; -2; 2)$.
Используя точку A в качестве начальной, получаем уравнения:
$x = 2 - 4t$
$y = 0 - 2t = -2t$
$z = -1 + 2t$

2. Подставим эти выражения в уравнение плоскости $x + y - 2z + 6 = 0$:

$(2 - 4t) + (-2t) - 2(-1 + 2t) + 6 = 0$

3. Решим полученное уравнение относительно $t$:

$2 - 4t - 2t + 2 - 4t + 6 = 0$
$10 - 10t = 0$
$10t = 10$
$t = 1$

4. Найдем координаты точки пересечения, подставив $t = 1$ в параметрические уравнения:

$x = 2 - 4(1) = -2$
$y = -2(1) = -2$
$z = -1 + 2(1) = 1$

Точка пересечения M имеет координаты $(-2; -2; 1)$. Эти координаты совпадают с координатами точки B. Следовательно, прямая AB пересекает плоскость в точке B.

Для графического изображения нужно построить систему координат Oxyz. Затем построить точки $A(2; 0; -1)$ и $B(-2; -2; 1)$, соединить их прямой. Далее построить плоскость. Для этого можно найти точки ее пересечения с осями координат: $(-6; 0; 0)$, $(0; -6; 0)$ и $(0; 0; 3)$. Соединив эти три точки, получим треугольник, который является частью плоскости. На рисунке будет видно, что точка B лежит в этой плоскости.

Ответ: Точка пересечения $(-2; -2; 1)$, что совпадает с точкой B.

Даны точки $A(2; 0; 1)$ и $B(1; -3; 0)$.

1. Составим параметрические уравнения прямой AB. Направляющий вектор $\vec{AB} = (1-2; -3-0; 0-1) = (-1; -3; -1)$.
Используя точку A в качестве начальной, получаем уравнения:
$x = 2 - t$
$y = 0 - 3t = -3t$
$z = 1 - t$

2. Подставим эти выражения в уравнение плоскости $x + y - 2z + 6 = 0$:

$(2 - t) + (-3t) - 2(1 - t) + 6 = 0$

3. Решим полученное уравнение относительно $t$:

$2 - t - 3t - 2 + 2t + 6 = 0$
$-2t + 6 = 0$
$2t = 6$
$t = 3$

4. Найдем координаты точки пересечения, подставив $t = 3$ в параметрические уравнения:

$x = 2 - 3 = -1$
$y = -3(3) = -9$
$z = 1 - 3 = -2$

Точка пересечения M имеет координаты $(-1; -9; -2)$.

Для графического изображения нужно построить систему координат Oxyz, отметить точки $A(2; 0; 1)$ и $B(1; -3; 0)$, а также найденную точку пересечения $M(-1; -9; -2)$. Плоскость строится так же, как и в предыдущем пункте. На рисунке будет видно, как прямая, проходящая через точки A и B, пересекает плоскость в точке M.

Ответ: Точка пересечения $(-1; -9; -2)$.