Номер 1189, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1189. Найдите координаты центра и радиус сферы, проходящей через точку C(9; 1; 10) и касающейся координатных плоскостей.

Пусть центр искомой сферы находится в точке $O(x_0, y_0, z_0)$, а ее радиус равен $R$.

По условию, сфера касается координатных плоскостей $Oxy$ (уравнение $z=0$), $Oxz$ (уравнение $y=0$) и $Oyz$ (уравнение $x=0$). Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой из этих плоскостей равно ее радиусу. Расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до координатных плоскостей равны $|x_0|$, $|y_0|$ и $|z_0|$ соответственно. Следовательно, выполняется равенство: $R = |x_0| = |y_0| = |z_0|$.

Сфера проходит через точку $C(9; 1; 10)$. Так как все координаты этой точки положительны, она находится в первом координатном октанте. Поскольку сфера касается всех координатных плоскостей, она целиком расположена в одном из восьми октантов. Так как она проходит через точку в первом октанте, то и вся сфера, включая ее центр, должна находиться в первом октанте. Это означает, что координаты центра $x_0, y_0, z_0$ положительны.

Из этого следует, что $x_0 = R, y_0 = R, z_0 = R$. Таким образом, центр сферы имеет координаты $O(R, R, R)$.

Общее уравнение сферы с центром в $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Подставив координаты центра $O(R, R, R)$, получим: $(x - R)^2 + (y - R)^2 + (z - R)^2 = R^2$.

Точка $C(9; 1; 10)$ лежит на сфере, поэтому ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим их в уравнение: $(9 - R)^2 + (1 - R)^2 + (10 - R)^2 = R^2$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение: $(81 - 18R + R^2) + (1 - 2R + R^2) + (100 - 20R + R^2) = R^2$.

Приведем подобные слагаемые: $3R^2 - 40R + 182 = R^2$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $2R^2 - 40R + 182 = 0$.

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $R^2 - 20R + 91 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $R$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36$.
Корни уравнения: $R_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{20 \pm 6}{2}$.

Получаем два возможных значения для радиуса:
$R_1 = \frac{20 - 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$R_2 = \frac{20 + 6}{2} = \frac{26}{2} = 13$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две сферы.
1. Если радиус $R = 7$, то центр сферы имеет координаты $(7; 7; 7)$.
2. Если радиус $R = 13$, то центр сферы имеет координаты $(13; 13; 13)$.

Ответ: существуют две сферы: первая с центром в точке $(7; 7; 7)$ и радиусом $7$, вторая с центром в точке $(13; 13; 13)$ и радиусом $13$.