Номер 1185, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1185. Докажите, что в одной плоскости лежат точки:

a) $A(3; -2; 3)$, $B(-2; 1; 2)$, $C(2; 1; -2)$, $D(-6; 3; 2)$;

б) $A(-1; -1; 1)$, $B(1; 2; -2)$, $C(1; -1; -5)$, $D(2; 3; -4)$.

Для доказательства того, что четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, достаточно показать, что три вектора, построенные на этих точках с общим началом (например, $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$), являются компланарными. Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из их координат.

а) A(3; -2; 3), B(-2; 1; 2), C(2; 1; -2), D(-6; 3; 2)

1. Найдем координаты векторов, выходящих из точки A:

$\vec{AB} = (-2 - 3; 1 - (-2); 2 - 3) = (-5; 3; -1)$

$\vec{AC} = (2 - 3; 1 - (-2); -2 - 3) = (-1; 3; -5)$

$\vec{AD} = (-6 - 3; 3 - (-2); 2 - 3) = (-9; 5; -1)$

2. Вычислим смешанное произведение векторов $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$:

$(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -5 & 3 & -1 \\ -1 & 3 & -5 \\ -9 & 5 & -1 \end{vmatrix} = $

$= -5(3 \cdot (-1) - 5 \cdot (-5)) - 3((-1) \cdot (-1) - (-9) \cdot (-5)) + (-1)((-1) \cdot 5 - (-9) \cdot 3) = $

$= -5(-3 + 25) - 3(1 - 45) - 1(-5 + 27) = $

$= -5(22) - 3(-44) - 1(22) = -110 + 132 - 22 = 0$

Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ компланарны, а значит, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Ответ: Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

б) A(-1; -1; 1), B(1; 2; -2), C(1; -1; -5), D(2; 3; -4)

1. Найдем координаты векторов, выходящих из точки A:

$\vec{AB} = (1 - (-1); 2 - (-1); -2 - 1) = (2; 3; -3)$

$\vec{AC} = (1 - (-1); -1 - (-1); -5 - 1) = (2; 0; -6)$

$\vec{AD} = (2 - (-1); 3 - (-1); -4 - 1) = (3; 4; -5)$

2. Вычислим смешанное произведение векторов $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$:

$(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & -6 \\ 3 & 4 & -5 \end{vmatrix} = $

$= 2(0 \cdot (-5) - 4 \cdot (-6)) - 3(2 \cdot (-5) - 3 \cdot (-6)) + (-3)(2 \cdot 4 - 3 \cdot 0) = $

$= 2(0 + 24) - 3(-10 + 18) - 3(8 - 0) = $

$= 2(24) - 3(8) - 3(8) = 48 - 24 - 24 = 0$

Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ компланарны, следовательно, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Ответ: Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.