Номер 1190, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1190. Изобразите в тетради оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ системы координат. Покажите на рисунке линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью:

a) $3x - 2y + 4z - 12 = 0;$

б) $2x - 3y - z - 12 = 0.$

Чтобы изобразить линии пересечения (следы) заданной плоскости с координатными плоскостями, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с осями координат. Прямые, соединяющие эти точки, и будут являться искомыми линиями.

a) Дано уравнение плоскости: $3x - 2y + 4z - 12 = 0$.

1. Найдем точку пересечения плоскости с осью $Ox$. Для этого в уравнении плоскости полагаем $y=0$ и $z=0$:

$3x - 2(0) + 4(0) - 12 = 0$

$3x - 12 = 0$

$3x = 12$

$x = 4$

Таким образом, точка пересечения с осью $Ox$ — это точка $A(4, 0, 0)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $Oy$. Полагаем $x=0$ и $z=0$:

$3(0) - 2y + 4(0) - 12 = 0$

$-2y - 12 = 0$

$-2y = 12$

$y = -6$

Точка пересечения с осью $Oy$ — это точка $B(0, -6, 0)$.

3. Найдем точку пересечения с осью $Oz$. Полагаем $x=0$ и $y=0$:

$3(0) - 2(0) + 4z - 12 = 0$

$4z - 12 = 0$

$4z = 12$

$z = 3$

Точка пересечения с осью $Oz$ — это точка $C(0, 0, 3)$.

Теперь, имея три точки, мы можем определить линии пересечения с координатными плоскостями:

• Линия пересечения с плоскостью $Oxy$ ($z=0$) — это прямая, проходящая через точки $A(4, 0, 0)$ и $B(0, -6, 0)$. Уравнение этой прямой в плоскости $Oxy$: $3x - 2y - 12 = 0$.
• Линия пересечения с плоскостью $Oxz$ ($y=0$) — это прямая, проходящая через точки $A(4, 0, 0)$ и $C(0, 0, 3)$. Уравнение этой прямой в плоскости $Oxz$: $3x + 4z - 12 = 0$.
• Линия пересечения с плоскостью $Oyz$ ($x=0$) — это прямая, проходящая через точки $B(0, -6, 0)$ и $C(0, 0, 3)$. Уравнение этой прямой в плоскости $Oyz$: $-2y + 4z - 12 = 0$, или $y - 2z + 6 = 0$.

Для изображения на рисунке необходимо построить систему координат $Oxyz$, отметить на осях точки $A(4, 0, 0)$, $B(0, -6, 0)$ и $C(0, 0, 3)$, а затем соединить их отрезками. Треугольник $ABC$ будет изображать часть плоскости, отсекаемую координатными плоскостями, а его стороны $AB$, $BC$ и $AC$ — искомые линии пересечения.

Ответ: Линиями пересечения являются прямые, проходящие через пары точек: ($A(4,0,0)$, $B(0,-6,0)$), ($B(0,-6,0)$, $C(0,0,3)$) и ($A(4,0,0)$, $C(0,0,3)$).

б) Дано уравнение плоскости: $2x - 3y - z - 12 = 0$.

1. Найдем точку пересечения с осью $Ox$ ($y=0, z=0$):

$2x - 0 - 0 - 12 = 0 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$.

Точка пересечения с осью $Ox$ — $D(6, 0, 0)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $Oy$ ($x=0, z=0$):

$0 - 3y - 0 - 12 = 0 \Rightarrow -3y = 12 \Rightarrow y = -4$.

Точка пересечения с осью $Oy$ — $E(0, -4, 0)$.

3. Найдем точку пересечения с осью $Oz$ ($x=0, y=0$):

$0 - 0 - z - 12 = 0 \Rightarrow -z = 12 \Rightarrow z = -12$.

Точка пересечения с осью $Oz$ — $F(0, 0, -12)$.

Линии пересечения с координатными плоскостями:

• С плоскостью $Oxy$ ($z=0$): прямая, проходящая через точки $D(6, 0, 0)$ и $E(0, -4, 0)$. Уравнение: $2x - 3y - 12 = 0$.
• С плоскостью $Oxz$ ($y=0$): прямая, проходящая через точки $D(6, 0, 0)$ и $F(0, 0, -12)$. Уравнение: $2x - z - 12 = 0$.
• С плоскостью $Oyz$ ($x=0$): прямая, проходящая через точки $E(0, -4, 0)$ и $F(0, 0, -12)$. Уравнение: $-3y - z - 12 = 0$, или $3y + z + 12 = 0$.

Для изображения на рисунке необходимо построить систему координат $Oxyz$, отметить на осях точки $D(6, 0, 0)$, $E(0, -4, 0)$ и $F(0, 0, -12)$ и соединить их отрезками. Отрезки $DE$, $EF$ и $DF$ являются искомыми линиями пересечения.

Ответ: Линиями пересечения являются прямые, проходящие через пары точек: ($D(6,0,0)$, $E(0,-4,0)$), ($E(0,-4,0)$, $F(0,0,-12)$) и ($D(6,0,0)$, $F(0,0,-12)$).