Номер 1197, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1197. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки $A(1; -1; 1)$, $B(-1; 0; 2)$ и параллельной:

а) вектору $\vec{a}(-1; 1; 3)$;

б) вектору $\vec{b}(1; 2; 3)$.

а)

Чтобы составить уравнение плоскости, нам необходимо знать точку, через которую проходит плоскость, и вектор нормали к этой плоскости.

Плоскость проходит через точки $A(1; -1; 1)$ и $B(-1; 0; 2)$, следовательно, вектор $\vec{AB}$, соединяющий эти точки, лежит в искомой плоскости. Найдем его координаты:

$\vec{AB} = (-1 - 1; 0 - (-1); 2 - 1) = (-2; 1; 1)$.

По условию, плоскость также параллельна вектору $\vec{a}(-1; 1; 3)$. Это означает, что вектор $\vec{a}$ также параллелен искомой плоскости.

Таким образом, у нас есть два неколлинеарных вектора ($\vec{AB}$ и $\vec{a}$), которые параллельны плоскости. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости будет перпендикулярен обоим этим векторам. Мы можем найти $\vec{n}$ как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{a}$:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(-2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) + \vec{k}(-2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = \vec{i}(3 - 1) - \vec{j}(-6 + 1) + \vec{k}(-2 + 1) = 2\vec{i} + 5\vec{j} - \vec{k}$.

Координаты вектора нормали: $\vec{n}(2; 5; -1)$.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором $\vec{n}(A; B; C)$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставив координаты нашего вектора нормали, получим:

$2x + 5y - z + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D$, подставим в это уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, точки $A(1; -1; 1)$:

$2(1) + 5(-1) - 1 + D = 0$

$2 - 5 - 1 + D = 0$

$-4 + D = 0$, откуда $D = 4$.

Следовательно, искомое уравнение плоскости: $2x + 5y - z + 4 = 0$.

Ответ: $2x + 5y - z + 4 = 0$.

б)

Решение аналогично пункту а). Вектор $\vec{AB}(-2; 1; 1)$ лежит в искомой плоскости. По условию, плоскость параллельна вектору $\vec{b}(1; 2; 3)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен векторам $\vec{AB}$ и $\vec{b}$. Найдем $\vec{n}$ через их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - \vec{j}(-2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(-2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = \vec{i}(3 - 2) - \vec{j}(-6 - 1) + \vec{k}(-4 - 1) = \vec{i} + 7\vec{j} - 5\vec{k}$.

Координаты вектора нормали: $\vec{n}(1; 7; -5)$.

Уравнение плоскости имеет вид:

$1 \cdot x + 7y - 5z + D = 0$.

Для нахождения коэффициента $D$ подставим в уравнение координаты точки $A(1; -1; 1)$:

$1(1) + 7(-1) - 5(1) + D = 0$

$1 - 7 - 5 + D = 0$

$-11 + D = 0$, откуда $D = 11$.

Следовательно, искомое уравнение плоскости: $x + 7y - 5z + 11 = 0$.

Ответ: $x + 7y - 5z + 11 = 0$.