Номер 1201, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1201. Вектор $\vec{a}(2; -2; 1)$ параллелен прямой $l$, проходящей через точку $A(3; -1; 0)$. Найдите угол между прямой $l$ и плоскостью:

a) $2x + y - 2z + 1 = 0$;

б) $2x + 6y + z - 7 = 0$.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью находится по формуле, связывающей направляющий вектор прямой $\vec{s}$ и вектор нормали к плоскости $\vec{n}$:

$\sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$

Из условия задачи известно, что прямая $l$ параллельна вектору $\vec{a}(2; -2; 1)$. Это означает, что вектор $\vec{a}$ является направляющим вектором прямой $l$. Таким образом, $\vec{s} = (2; -2; 1)$.

а)

Плоскость задана уравнением $2x + y - 2z + 1 = 0$.

Вектор нормали к этой плоскости имеет координаты, соответствующие коэффициентам при $x, y, z$ в уравнении плоскости: $\vec{n} = (2; 1; -2)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 4 - 2 - 2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, то и синус угла между прямой и плоскостью равен нулю:

$\sin \phi = \frac{|0|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|} = 0$.

Следовательно, угол $\phi = 0^\circ$. Это означает, что прямая $l$ параллельна данной плоскости (или лежит в ней).

Ответ: $0^\circ$.

б)

Плоскость задана уравнением $2x + 6y + z - 7 = 0$.

Вектор нормали к этой плоскости: $\vec{n} = (2; 6; 1)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s} = (2; -2; 1)$ и $\vec{n} = (2; 6; 1)$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 6 + 1 \cdot 1 = 4 - 12 + 1 = -7$.

Теперь найдем модули (длины) векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$|\vec{s}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 36 + 1} = \sqrt{41}$.

Подставим найденные значения в формулу для синуса угла:

$\sin \phi = \frac{|-7|}{3 \cdot \sqrt{41}} = \frac{7}{3\sqrt{41}}$.

Тогда искомый угол $\phi$ равен арксинусу этого значения:

$\phi = \arcsin\left(\frac{7}{3\sqrt{41}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{7}{3\sqrt{41}}\right)$.