Номер 1207, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1207. На рисунке 355 изображен правильный шестиугольник ABCDEF. Найдите углы, которые образуют векторы $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{CD}$, $\vec{DE}$, $\vec{EF}$, $\vec{FA}$ с вектором:

а) $\vec{AD}$;

б) $\vec{BD}$.

Рис. 355

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ все стороны равны и все внутренние углы равны $120^\circ$. Его можно разбить на шесть правильных (равносторонних) треугольников с общей вершиной в центре шестиугольника $O$. Большая диагональ (например, $AD$) проходит через центр $O$ и является осью симметрии шестиугольника.

а) Углы с вектором $\vec{AD}$

Для нахождения углов будем использовать свойства правильного шестиугольника и параллельности его сторон. Угол между векторами — это угол между их направлениями, когда они отложены от одной точки.

• Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$: Векторы имеют общее начало в точке $A$. Угол между ними — это $\angle DAB$. Так как диагональ $AD$ является биссектрисой угла $\angle FAB$, то $\angle DAB = \frac{\angle FAB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
• Угол между $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$: В правильном шестиугольнике стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), так как трапеция $ABCD$ является равнобедренной. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены. Следовательно, угол между ними равен $0^\circ$.
• Угол между $\vec{CD}$ и $\vec{AD}$: В правильном шестиугольнике вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{AF}$ ($\vec{CD} = \vec{AF}$). Поэтому искомый угол равен углу между векторами $\vec{AF}$ и $\vec{AD}$. Этот угол равен $\angle FAD = \frac{\angle FAB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
• Угол между $\vec{DE}$ и $\vec{AD}$: Сторона $DE$ параллельна стороне $AB$ ($DE \parallel AB$), но векторы $\vec{DE}$ и $\vec{AB}$ противоположно направлены ($\vec{DE} = \vec{BA}$). Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $60^\circ$, значит угол между противоположным ему вектором $\vec{BA}$ и вектором $\vec{AD}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
• Угол между $\vec{EF}$ и $\vec{AD}$: Сторона $EF$ параллельна стороне $BC$ ($EF \parallel BC$), но векторы $\vec{EF}$ и $\vec{BC}$ противоположно направлены ($\vec{EF} = \vec{CB}$). Угол между $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равен $0^\circ$, значит угол между противоположным ему вектором $\vec{CB}$ и вектором $\vec{AD}$ равен $180^\circ - 0^\circ = 180^\circ$.
• Угол между $\vec{FA}$ и $\vec{AD}$: Вектор $\vec{FA}$ и вектор $\vec{AD}$ отложены от разных точек. Угол между векторами $\vec{AF}$ и $\vec{AD}$ равен $60^\circ$. Угол между противоположно направленным вектором $\vec{FA}$ и вектором $\vec{AD}$ будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: углы, образованные векторами $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{CD}$, $\vec{DE}$, $\vec{EF}$, $\vec{FA}$ с вектором $\vec{AD}$, равны соответственно $60^\circ, 0^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 120^\circ$.

б) Углы с вектором $\vec{BD}$

Для нахождения этих углов используем ранее найденные свойства, а также рассмотрим треугольники внутри шестиугольника.

• Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$: Рассмотрим треугольник $ABD$. Он вписан в окружность, описанную около шестиугольника, и его сторона $AD$ является диаметром этой окружности. Следовательно, угол, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ABD = 90^\circ$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ имеют общее начало в точке $B$, поэтому угол между ними равен $90^\circ$.
• Угол между $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$: Векторы имеют общее начало в точке $B$. Угол между ними — это $\angle CBD$. Треугольник $BCD$ является равнобедренным ($BC=CD$), а угол при вершине $\angle BCD = 120^\circ$. Углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.
• Угол между $\vec{CD}$ и $\vec{BD}$: Угол между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ равен $\angle CDB = 30^\circ$. Угол между противоположно направленными векторами $\vec{BD}$ (противоположен $\vec{DB}$) и $\vec{CD}$ (противоположен $\vec{DC}$) будет таким же. Следовательно, искомый угол равен $30^\circ$.
• Угол между $\vec{DE}$ и $\vec{BD}$: Вектор $\vec{DE}$ параллелен и противоположен вектору $\vec{AB}$ ($\vec{DE} = \vec{BA}$). Искомый угол равен углу между $\vec{BA}$ и $\vec{BD}$. Так как угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ равен $90^\circ$, то угол между $\vec{BA}$ и $\vec{BD}$ равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
• Угол между $\vec{EF}$ и $\vec{BD}$: Вектор $\vec{EF}$ параллелен и противоположен вектору $\vec{BC}$ ($\vec{EF} = \vec{CB}$). Искомый угол равен углу между $\vec{CB}$ и $\vec{BD}$. Так как угол между $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ равен $30^\circ$, то угол между $\vec{CB}$ и $\vec{BD}$ равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
• Угол между $\vec{FA}$ и $\vec{BD}$: Вектор $\vec{FA}$ параллелен и противоположен вектору $\vec{CD}$ ($\vec{FA} = \vec{DC}$). Искомый угол равен углу между $\vec{DC}$ и $\vec{BD}$. Угол между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ равен $\angle CDB = 30^\circ$. Тогда угол между $\vec{BD}$ (противоположный $\vec{DB}$) и $\vec{DC}$ равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: углы, образованные векторами $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{CD}$, $\vec{DE}$, $\vec{EF}$, $\vec{FA}$ с вектором $\vec{BD}$, равны соответственно $90^\circ, 30^\circ, 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 150^\circ$.