Номер 1212, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1212. Докажите, что векторы $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$, $2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$, $8\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ компланарны. Выразите каждый из этих векторов через два других.

Доказательство компланарности

Три вектора являются компланарными, если один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других. Обозначим данные векторы: $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$, $\vec{q} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ и $\vec{r} = 8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Попытаемся найти такие числа $x$ и $y$, чтобы выполнялось равенство:$\vec{r} = x\vec{p} + y\vec{q}$

Подставим в это равенство выражения для векторов:$8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = x(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) + y(2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при базисных векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:$8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = x\vec{a} + x\vec{b} - x\vec{c} + 2y\vec{a} - y\vec{b} + y\vec{c}$$8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = (x + 2y)\vec{a} + (x - y)\vec{b} + (-x + y)\vec{c}$

Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ в общем случае не компланарны (являются базисными), то равенство возможно только в том случае, если равны коэффициенты при них. Составим систему уравнений:$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - y = -1 \\ -x + y = 1 \end{cases}$

Второе и третье уравнения являются эквивалентными (второе получается из третьего умножением на -1). Поэтому для нахождения $x$ и $y$ достаточно решить систему из первых двух уравнений:$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - y = -1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y - 1$. Подставим это выражение в первое уравнение:$(y - 1) + 2y = 8$$3y - 1 = 8$$3y = 9$$y = 3$

Теперь найдем $x$:$x = y - 1 = 3 - 1 = 2$

Мы нашли такие числа $x = 2$ и $y = 3$, что $\vec{r} = 2\vec{p} + 3\vec{q}$. Это означает, что один из векторов линейно выражается через два других, следовательно, все три вектора компланарны.

Ответ: Поскольку один из векторов можно представить в виде линейной комбинации двух других, $8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = 2(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) + 3(2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$, то данные векторы являются компланарными.

Выражение каждого из этих векторов через два других

Используем найденное в ходе доказательства соотношение:$8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = 2(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) + 3(2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$

1. Выражение вектора $8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ через два других уже найдено.
Ответ: $8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = 2(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) + 3(2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$.

2. Выразим вектор $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ из того же равенства:
$2(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) = (8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) - 3(2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$
$\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \frac{1}{2}(8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) - \frac{3}{2}(2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$
Ответ: $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \frac{1}{2}(8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) - \frac{3}{2}(2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$.

3. Выразим вектор $2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ из исходного равенства:
$3(2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) = (8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) - 2(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$
$2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \frac{1}{3}(8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) - \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$
Ответ: $2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \frac{1}{3}(8\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) - \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$.