Номер 1217, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1217. Дан треугольник $ABC$. Докажите, что точка $D$ принадлежит плоскости $ABC$ тогда и только тогда, когда для произвольной точки $O$ пространства $\vec{OD} = x\vec{OA} + y\vec{OB} + z\vec{OC}$ и $x + y + z = 1$.

Данное утверждение является критерием принадлежности точки плоскости, заданной тремя точками, и требует доказательства в обе стороны (необходимость и достаточность).

Доказательство необходимости (⇒)

Предположим, что точка D принадлежит плоскости треугольника ABC. Необходимо доказать, что для любой точки O пространства существуют такие числа x, y, z, что $\overrightarrow{OD} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$ и при этом $x + y + z = 1$.

Поскольку точка D лежит в плоскости ABC, векторы $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ компланарны. Так как A, B и C являются вершинами треугольника, они не лежат на одной прямой, и, следовательно, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ не коллинеарны. Любой вектор, компланарный двум неколлинеарным векторам, может быть единственным образом представлен как их линейная комбинация. Таким образом, существуют такие действительные числа $m$ и $n$, что:

$\overrightarrow{AD} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}$

Выберем произвольную точку O в пространстве и выразим все векторы в этом равенстве через радиус-векторы с началом в точке O:

$\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = m(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + n(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})$

Теперь выразим из этого равенства вектор $\overrightarrow{OD}$:

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB} - m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OC} - n\overrightarrow{OA}$

Сгруппируем слагаемые при $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$:

$\overrightarrow{OD} = (1 - m - n)\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB} + n\overrightarrow{OC}$

Обозначим коэффициенты: $x = 1 - m - n$, $y = m$, $z = n$. Тогда равенство примет искомый вид:

$\overrightarrow{OD} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$

Проверим сумму этих коэффициентов:

$x + y + z = (1 - m - n) + m + n = 1$

Таким образом, необходимость доказана.

Доказательство достаточности (⇐)

Теперь предположим, что для произвольной точки O пространства существуют такие числа x, y, z, что $\overrightarrow{OD} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$ и $x + y + z = 1$. Необходимо доказать, что точка D принадлежит плоскости ABC.

Используем условие $x + y + z = 1$, чтобы выразить один из коэффициентов, например, $x = 1 - y - z$. Подставим это выражение в исходное векторное равенство:

$\overrightarrow{OD} = (1 - y - z)\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$

Раскроем скобки и преобразуем правую часть:

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} - y\overrightarrow{OA} - z\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$

Перенесем вектор $\overrightarrow{OA}$ в левую часть равенства и сгруппируем слагаемые в правой части:

$\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = y(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + z(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})$

Используя определение разности векторов, запишем это равенство в виде:

$\overrightarrow{AD} = y\overrightarrow{AB} + z\overrightarrow{AC}$

Данное равенство показывает, что вектор $\overrightarrow{AD}$ является линейной комбинацией неколлинеарных векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$. Это означает, что вектор $\overrightarrow{AD}$ компланарен векторам $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, то есть лежит в одной плоскости с ними. Поскольку все три вектора ($\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$) отложены от одной точки A, их концы (точки D, B и C) также лежат в одной плоскости. Следовательно, точка D принадлежит плоскости ABC.

Таким образом, достаточность также доказана.

Ответ: Утверждение доказано.