Номер 1224, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введём систему координат с началом в точке $A$. Обозначим векторы $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AD} = \vec{d}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ неколлинеарны и могут быть выбраны в качестве базиса на плоскости.

Выразим радиус-векторы вершин параллелограммов через базисные векторы:

• Радиус-вектор точки $A$ равен $\vec{0}$.
• Радиус-вектор точки $B$ равен $\vec{B} = \vec{b}$.
• Радиус-вектор точки $D$ равен $\vec{D} = \vec{d}$.
• По правилу параллелограмма для векторов, радиус-вектор точки $C$ равен $\vec{C} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$.

Точка $B_1$ лежит на прямой $AB$, следовательно, вектор $\vec{AB_1}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$. Это означает, что существует такое действительное число $k$, что радиус-вектор точки $B_1$ равен $\vec{B_1} = k\vec{b}$.

Аналогично, точка $D_1$ лежит на прямой $AD$, поэтому существует такое действительное число $m$, что радиус-вектор точки $D_1$ равен $\vec{D_1} = m\vec{d}$.

Поскольку $AB_1C_1D_1$ — также параллелограмм, радиус-вектор точки $C_1$ равен $\vec{C_1} = \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = k\vec{b} + m\vec{d}$.

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $BD_1$ и $B_1D$. Найдём её радиус-вектор $\vec{P}$.

Так как $P$ лежит на прямой $BD_1$, её радиус-вектор можно представить как линейную комбинацию векторов $\vec{B}$ и $\vec{D_1}$:

$\vec{P} = (1-t)\vec{B} + t\vec{D_1} = (1-t)\vec{b} + t(m\vec{d}) = (1-t)\vec{b} + tm\vec{d}$ для некоторого скаляра $t$.

Так как $P$ также лежит на прямой $B_1D$, её радиус-вектор можно представить как:

$\vec{P} = (1-s)\vec{B_1} + s\vec{D} = (1-s)(k\vec{b}) + s\vec{d} = (1-s)k\vec{b} + s\vec{d}$ для некоторого скаляра $s$.

Приравнивая два полученных выражения для $\vec{P}$, получаем векторное равенство:

$(1-t)\vec{b} + tm\vec{d} = (1-s)k\vec{b} + s\vec{d}$

В силу неколлинеарности векторов $\vec{b}$ и $\vec{d}$, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при этих векторах:

$\begin{cases} 1-t = (1-s)k \\ tm = s \end{cases}$

Решим эту систему уравнений. Подставим второе уравнение в первое:

$1 - \frac{s}{m} = k(1-s) \implies 1 - \frac{s}{m} = k - sk \implies 1 - k = s(\frac{1}{m} - k) \implies 1 - k = s\frac{1-mk}{m}$

Предположим, что прямые пересекаются, то есть они не параллельны. Условие параллельности прямых $BD_1$ и $B_1D$ — это коллинеарность их направляющих векторов $\vec{D_1}-\vec{B} = m\vec{d}-\vec{b}$ и $\vec{D}-\vec{B_1} = \vec{d}-k\vec{b}$, что эквивалентно условию $mk=1$. Таким образом, мы считаем, что $mk \neq 1$. Тогда:

$s = \frac{m(1-k)}{1-mk}$

Теперь найдём радиус-вектор точки $P$, подставив $s$ в одно из выражений для $\vec{P}$:

$\vec{P} = (1-s)k\vec{b} + s\vec{d} = \left(1-\frac{m(1-k)}{1-mk}\right)k\vec{b} + \frac{m(1-k)}{1-mk}\vec{d}$

$\vec{P} = \left(\frac{1-mk - m + mk}{1-mk}\right)k\vec{b} + \frac{m(1-k)}{1-mk}\vec{d} = \frac{k(1-m)}{1-mk}\vec{b} + \frac{m(1-k)}{1-mk}\vec{d}$

Теперь докажем, что точка $P$ лежит на прямой $CC_1$. Точка лежит на прямой, если её радиус-вектор можно представить в виде $\vec{P} = (1-\lambda)\vec{C} + \lambda\vec{C_1}$ для некоторого скаляра $\lambda$.

Подставим выражения для $\vec{C}$ и $\vec{C_1}$:

$\vec{P} = (1-\lambda)(\vec{b} + \vec{d}) + \lambda(k\vec{b} + m\vec{d}) = (1-\lambda + \lambda k)\vec{b} + (1-\lambda + \lambda m)\vec{d}$

Сравним коэффициенты при $\vec{b}$ и $\vec{d}$ в этом выражении и в полученном ранее выражении для $\vec{P}$:

$\begin{cases} 1-\lambda + \lambda k = \frac{k(1-m)}{1-mk} \\ 1-\lambda + \lambda m = \frac{m(1-k)}{1-mk} \end{cases}$

Из первого уравнения (при $k \neq 1$):

$1 + \lambda(k-1) = \frac{k-mk}{1-mk} \implies \lambda(k-1) = \frac{k-mk}{1-mk} - 1 = \frac{k-mk - 1+mk}{1-mk} = \frac{k-1}{1-mk}$

$\lambda = \frac{1}{1-mk}$

Подставим это значение $\lambda$ во второе уравнение для проверки:

$1-\lambda + \lambda m = 1 + \lambda(m-1) = 1 + \frac{m-1}{1-mk} = \frac{1-mk+m-1}{1-mk} = \frac{m-mk}{1-mk} = \frac{m(1-k)}{1-mk}$

Результат совпал с требуемым. Таким образом, мы нашли значение $\lambda$, которое удовлетворяет обоим уравнениям. Это доказывает, что радиус-вектор $\vec{P}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{C}$ и $\vec{C_1}$ с коэффициентами, сумма которых равна 1. Следовательно, точка $P$ лежит на прямой $CC_1$.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения прямых $BD_1$ и $B_1D$ принадлежит прямой $CC_1$.