Номер 1218, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1218. Пусть точки $A_0, B_0, C_0$ разделяют отрезки $BC, CA, AB$ в одном и том же отношении $k$. Докажите, что для данной призмы $ABCA_1B_1C_1$ сумма векторов $\vec{A_1A_0} + \vec{B_1B_0} + \vec{C_1C_0}$ не зависит от $k$.

Для решения задачи используем векторный метод. Введем радиус-векторы для всех вершин призмы относительно произвольного начала координат $O$ в пространстве. Обозначим их как $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$, $\vec{OA_1}$, $\vec{OB_1}$, $\vec{OC_1}$.

По определению призмы $ABCA_1B_1C_1$, ее боковые ребра параллельны и равны. Это означает, что векторы, соответствующие боковым ребрам, равны между собой: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Обозначим этот общий вектор как $\vec{v}$. В терминах радиус-векторов это можно записать в виде системы равенств: $\vec{OA_1} - \vec{OA} = \vec{v}$, $\vec{OB_1} - \vec{OB} = \vec{v}$, $\vec{OC_1} - \vec{OC} = \vec{v}$.

Согласно условию, точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ разделяют отрезки $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно в одном и том же отношении $k$. Это можно выразить следующими векторными равенствами: $\vec{BA_0} = k \cdot \vec{A_0C}$, $\vec{CB_0} = k \cdot \vec{B_0A}$, $\vec{AC_0} = k \cdot \vec{C_0B}$.

Выразим радиус-векторы точек $A_0$, $B_0$, $C_0$ через радиус-векторы вершин основания $A, B, C$. Из первого равенства $\vec{BA_0} = k \cdot \vec{A_0C}$ получаем $\vec{OA_0} - \vec{OB} = k(\vec{OC} - \vec{OA_0})$. Преобразуем это уравнение, чтобы выразить $\vec{OA_0}$: $(1+k)\vec{OA_0} = \vec{OB} + k\vec{OC}$, откуда $\vec{OA_0} = \frac{1}{1+k}\vec{OB} + \frac{k}{1+k}\vec{OC}$. Аналогично, из двух других равенств получаем выражения для $\vec{OB_0}$ и $\vec{OC_0}$: $\vec{OB_0} = \frac{1}{1+k}\vec{OC} + \frac{k}{1+k}\vec{OA}$, $\vec{OC_0} = \frac{1}{1+k}\vec{OA} + \frac{k}{1+k}\vec{OB}$.

Теперь рассмотрим искомую сумму векторов $\vec{S} = \vec{A_1A_0} + \vec{B_1B_0} + \vec{C_1C_0}$. Выразим каждый вектор в сумме через радиус-векторы их начала и конца: $\vec{S} = (\vec{OA_0} - \vec{OA_1}) + (\vec{OB_0} - \vec{OB_1}) + (\vec{OC_0} - \vec{OC_1})$. Сгруппируем слагаемые: $\vec{S} = (\vec{OA_0} + \vec{OB_0} + \vec{OC_0}) - (\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1})$.

Вычислим первую скобку, подставив найденные выражения для $\vec{OA_0}$, $\vec{OB_0}$ и $\vec{OC_0}$: $\vec{OA_0} + \vec{OB_0} + \vec{OC_0} = (\frac{1}{1+k}\vec{OB} + \frac{k}{1+k}\vec{OC}) + (\frac{1}{1+k}\vec{OC} + \frac{k}{1+k}\vec{OA}) + (\frac{1}{1+k}\vec{OA} + \frac{k}{1+k}\vec{OB})$. Соберем коэффициенты при одинаковых векторах: $(\frac{k}{1+k} + \frac{1}{1+k})\vec{OA} + (\frac{1}{1+k} + \frac{k}{1+k})\vec{OB} + (\frac{k}{1+k} + \frac{1}{1+k})\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

Теперь вычислим вторую скобку, используя свойство призмы $\vec{OA_1} = \vec{OA} + \vec{v}$, и так далее: $\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = (\vec{OA} + \vec{v}) + (\vec{OB} + \vec{v}) + (\vec{OC} + \vec{v}) = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) + 3\vec{v}$.

Наконец, подставим полученные результаты в выражение для $\vec{S}$: $\vec{S} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - ((\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) + 3\vec{v}) = -3\vec{v}$.

Так как $\vec{v} = \vec{AA_1}$, итоговая сумма векторов равна $\vec{S} = -3\vec{AA_1}$. Полученный вектор зависит только от вектора бокового ребра призмы и не зависит от параметра $k$. Это и требовалось доказать.

Ответ: Сумма векторов $\vec{A_1A_0} + \vec{B_1B_0} + \vec{C_1C_0}$ равна $-3\vec{AA_1}$. Так как этот вектор определяется только данной призмой и не содержит параметр $k$, указанная сумма не зависит от $k$.