Номер 1221, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1221. В пространстве задано $n$ точек $A_1, A_2, \ldots, A_n$. Докажите, что существует единственная точка $M$ такая, что $\vec{MA_1} + \vec{MA_2} + \ldots + \vec{MA_n} = \vec{0}$.

Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования такой точки и доказательства её единственности.

Доказательство существования

Пусть в пространстве выбрана произвольная точка O в качестве начала координат. Тогда положение любой точки $A_i$ (для $i=1, 2, ..., n$) задается её радиус-вектором $\vec{OA_i}$. Аналогично, положение искомой точки M задается радиус-вектором $\vec{OM}$.

Любой вектор $\vec{MA_i}$ можно выразить через радиус-векторы его начала и конца:
$\vec{MA_i} = \vec{OA_i} - \vec{OM}$

Перепишем данное в условии равенство, используя радиус-векторы:
$\vec{MA_1} + \vec{MA_2} + ... + \vec{MA_n} = \vec{0}$
$\sum_{i=1}^{n} \vec{MA_i} = \vec{0}$
$\sum_{i=1}^{n} (\vec{OA_i} - \vec{OM}) = \vec{0}$

Раскроем сумму и сгруппируем слагаемые:
$(\vec{OA_1} + \vec{OA_2} + ... + \vec{OA_n}) - (\vec{OM} + \vec{OM} + ... + \vec{OM}) = \vec{0}$
$\sum_{i=1}^{n} \vec{OA_i} - n \cdot \vec{OM} = \vec{0}$

Из этого уравнения можно выразить радиус-вектор точки M:
$n \cdot \vec{OM} = \sum_{i=1}^{n} \vec{OA_i}$
$\vec{OM} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \vec{OA_i}$

Так как точки $A_1, A_2, ..., A_n$ заданы, их радиус-векторы $\vec{OA_i}$ являются постоянными векторами. Их сумма, делённая на число $n$, также является вполне определённым постоянным вектором. Этот вектор однозначно задаёт положение точки M в пространстве относительно начала координат O. Следовательно, такая точка M существует. Эта точка называется центром масс (или барицентром) системы точек $A_1, A_2, ..., A_n$.

Доказательство единственности

Предположим, что существует другая точка $M'$, которая также удовлетворяет данному условию. Тогда для неё выполняется равенство:
$\vec{M'A_1} + \vec{M'A_2} + ... + \vec{M'A_n} = \vec{0}$ или $\sum_{i=1}^{n} \vec{M'A_i} = \vec{0}$

Итак, мы имеем систему из двух уравнений:
1) $\sum_{i=1}^{n} \vec{MA_i} = \vec{0}$
2) $\sum_{i=1}^{n} \vec{M'A_i} = \vec{0}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$\sum_{i=1}^{n} \vec{MA_i} - \sum_{i=1}^{n} \vec{M'A_i} = \vec{0}$
$\sum_{i=1}^{n} (\vec{MA_i} - \vec{M'A_i}) = \vec{0}$

Используя правило вычитания векторов (или правило треугольника $\vec{M'M} + \vec{MA_i} = \vec{M'A_i}$), получим:
$\vec{MA_i} - \vec{M'A_i} = \vec{MA_i} + \vec{A_iM'} = \vec{MM'}$

Подставим полученное выражение в сумму:
$\sum_{i=1}^{n} \vec{MM'} = \vec{0}$

Вектор $\vec{MM'}$ является постоянным для всех слагаемых в сумме, поэтому:
$n \cdot \vec{MM'} = \vec{0}$

Поскольку по условию у нас есть $n$ точек, то $n \ge 1$. Следовательно, из равенства $n \cdot \vec{MM'} = \vec{0}$ следует, что $\vec{MM'} = \vec{0}$. Нулевой вектор — это вектор, начало и конец которого совпадают. Значит, точка M совпадает с точкой $M'$.

Это доказывает, что точка, удовлетворяющая условию, может быть только одна.
Таким образом, существование и единственность точки M доказаны.

Ответ: Утверждение доказано.