Номер 1223, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1223. Пусть $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограммы, точки $A_0, B_0, C_0, D_0$ разделяют отрезки $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ в одном и том же отношении. Докажите, что середины отрезков $A_0C_0$ и $B_0D_0$ совпадают.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем радиус-векторы для всех точек задачи относительно некоторого начала координат $O$. Обозначим радиус-вектор точки $A$ как $\vec{a}$, точки $B$ как $\vec{b}$, и так далее.

Условие того, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, эквивалентно тому, что его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в середине. В векторной форме это означает, что радиус-векторы середин этих отрезков равны:

$\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$

Отсюда следует равенство:

$\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d} \quad (1)$

Аналогично, для параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$ выполняется условие:

$\vec{a_1} + \vec{c_1} = \vec{b_1} + \vec{d_1} \quad (2)$

По условию, точки $A_0, B_0, C_0, D_0$ разделяют отрезки $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ в одном и том же отношении. Обозначим это отношение как $\lambda : (1-\lambda)$ для некоторого числа $\lambda \in [0, 1]$. Тогда радиус-векторы этих точек можно выразить через радиус-векторы концов соответствующих отрезков:

$\vec{a_0} = (1-\lambda)\vec{a} + \lambda\vec{a_1}$

$\vec{b_0} = (1-\lambda)\vec{b} + \lambda\vec{b_1}$

$\vec{c_0} = (1-\lambda)\vec{c} + \lambda\vec{c_1}$

$\vec{d_0} = (1-\lambda)\vec{d} + \lambda\vec{d_1}$

Нам необходимо доказать, что середины отрезков $A_0C_0$ и $B_0D_0$ совпадают. Пусть $M$ — середина отрезка $A_0C_0$, а $N$ — середина отрезка $B_0D_0$. Их радиус-векторы равны соответственно $\vec{m} = \frac{\vec{a_0} + \vec{c_0}}{2}$ и $\vec{n} = \frac{\vec{b_0} + \vec{d_0}}{2}$. Для доказательства совпадения точек $M$ и $N$ достаточно доказать, что $\vec{a_0} + \vec{c_0} = \vec{b_0} + \vec{d_0}$.

Рассмотрим сумму векторов $\vec{a_0}$ и $\vec{c_0}$:

$\vec{a_0} + \vec{c_0} = ((1-\lambda)\vec{a} + \lambda\vec{a_1}) + ((1-\lambda)\vec{c} + \lambda\vec{c_1})$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$\vec{a_0} + \vec{c_0} = (1-\lambda)(\vec{a} + \vec{c}) + \lambda(\vec{a_1} + \vec{c_1})$

Теперь рассмотрим сумму векторов $\vec{b_0}$ и $\vec{d_0}$:

$\vec{b_0} + \vec{d_0} = ((1-\lambda)\vec{b} + \lambda\vec{b_1}) + ((1-\lambda)\vec{d} + \lambda\vec{d_1})$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$\vec{b_0} + \vec{d_0} = (1-\lambda)(\vec{b} + \vec{d}) + \lambda(\vec{b_1} + \vec{d_1})$

Теперь воспользуемся равенствами (1) и (2), которые являются свойствами параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Подставим $\vec{b} + \vec{d}$ вместо $\vec{a} + \vec{c}$ и $\vec{b_1} + \vec{d_1}$ вместо $\vec{a_1} + \vec{c_1}$ в выражение для $\vec{a_0} + \vec{c_0}$:

$\vec{a_0} + \vec{c_0} = (1-\lambda)(\vec{b} + \vec{d}) + \lambda(\vec{b_1} + \vec{d_1})$

Сравнивая это выражение с полученным ранее выражением для $\vec{b_0} + \vec{d_0}$, мы видим, что они идентичны:

$\vec{a_0} + \vec{c_0} = \vec{b_0} + \vec{d_0}$

Из этого равенства следует, что и половины этих сумм равны:

$\frac{\vec{a_0} + \vec{c_0}}{2} = \frac{\vec{b_0} + \vec{d_0}}{2}$

Это означает, что радиус-векторы середин отрезков $A_0C_0$ и $B_0D_0$ равны, следовательно, эти точки совпадают. Дополнительно можно отметить, что это доказывает, что четырехугольник $A_0B_0C_0D_0$ также является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано. Середины отрезков $A_0C_0$ и $B_0D_0$ совпадают.