Номер 1219, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1219. В правильной пятиугольной призме $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ на прямой, проходящей через центры $O$ и $O_1$ оснований, выбрана точка $Q$ так, что $\vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC} + \vec{QD} + \vec{QE} = \vec{O_1Q}$. Определите, в каком отношении точка $Q$ разделяет отрезок $OO_1$.

Пусть $O$ — центр основания $ABCDE$ и начало координат. Тогда радиус-вектор любой точки $M$ будет равен вектору $\vec{OM}$. Данное в условии векторное равенство имеет вид:

$\vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC} + \vec{QD} + \vec{QE} = \vec{O_1Q}$

Выразим каждый вектор через радиус-векторы его конца и начала. Пусть $\vec{r}_M = \vec{OM}$ — радиус-вектор точки $M$. Тогда:

$\vec{QA} = \vec{r}_A - \vec{r}_Q$

$\vec{QB} = \vec{r}_B - \vec{r}_Q$

...

$\vec{QE} = \vec{r}_E - \vec{r}_Q$

$\vec{O_1Q} = \vec{r}_Q - \vec{r}_{O_1}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(\vec{r}_A - \vec{r}_Q) + (\vec{r}_B - \vec{r}_Q) + (\vec{r}_C - \vec{r}_Q) + (\vec{r}_D - \vec{r}_Q) + (\vec{r}_E - \vec{r}_Q) = \vec{r}_Q - \vec{r}_{O_1}$

Сгруппируем члены уравнения:

$(\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C + \vec{r}_D + \vec{r}_E) - 5\vec{r}_Q = \vec{r}_Q - \vec{r}_{O_1}$

Поскольку $ABCDE$ — правильный пятиугольник с центром в точке $O$, которая является началом координат, сумма радиус-векторов его вершин равна нулевому вектору. Это свойство центра масс системы точек, расположенных в вершинах правильного многоугольника.

$\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C + \vec{r}_D + \vec{r}_E = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} + \vec{OE} = \vec{0}$

Подставив это в наше уравнение, получаем:

$\vec{0} - 5\vec{r}_Q = \vec{r}_Q - \vec{r}_{O_1}$

Теперь решим это уравнение относительно $\vec{r}_Q$:

$\vec{r}_{O_1} = 5\vec{r}_Q + \vec{r}_Q$

$\vec{r}_{O_1} = 6\vec{r}_Q$

$\vec{r}_Q = \frac{1}{6}\vec{r}_{O_1}$

Так как $\vec{r}_Q = \vec{OQ}$ и $\vec{r}_{O_1} = \vec{OO_1}$, мы имеем:

$\vec{OQ} = \frac{1}{6}\vec{OO_1}$

Из этого векторного равенства следует, что точка $Q$ лежит на отрезке $OO_1$. Длина отрезка $OQ$ составляет $\frac{1}{6}$ длины отрезка $OO_1$.

$|OQ| = \frac{1}{6}|OO_1|$

Тогда длина оставшейся части отрезка $QO_1$ равна:

$|QO_1| = |OO_1| - |OQ| = |OO_1| - \frac{1}{6}|OO_1| = \frac{5}{6}|OO_1|$

Найдем искомое отношение длин отрезков:

$\frac{|OQ|}{|QO_1|} = \frac{\frac{1}{6}|OO_1|}{\frac{5}{6}|OO_1|} = \frac{1}{5}$

Следовательно, точка $Q$ делит отрезок $OO_1$ в отношении $1:5$, считая от точки $O$.

Ответ: $1:5$.