Номер 1215, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1215. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Найдите такую точку M, чтобы было истинным равенство

$\overrightarrow{MA} + 2 \cdot \overrightarrow{MB} + 3 \cdot \overrightarrow{MC} = 5 \cdot \overrightarrow{MD}$.

Для нахождения точки $M$ преобразуем данное векторное равенство. Выразим все векторы, имеющие начало в точке $M$, через векторы, отложенные от одной из заданных точек, например, от точки $D$. Для этого воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов: $\vec{XY} = \vec{ZY} - \vec{ZX}$.

Исходное равенство:

$\vec{MA} + 2 \cdot \vec{MB} + 3 \cdot \vec{MC} = 5 \cdot \vec{MD}$

Выразим векторы $\vec{MA}$, $\vec{MB}$, $\vec{MC}$ и $\vec{MD}$ через векторы с началом в точке $D$:

$\vec{MA} = \vec{DA} - \vec{DM}$

$\vec{MB} = \vec{DB} - \vec{DM}$

$\vec{MC} = \vec{DC} - \vec{DM}$

$\vec{MD} = -\vec{DM}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(\vec{DA} - \vec{DM}) + 2(\vec{DB} - \vec{DM}) + 3(\vec{DC} - \vec{DM}) = 5(-\vec{DM})$

Раскроем скобки:

$\vec{DA} - \vec{DM} + 2\vec{DB} - 2\vec{DM} + 3\vec{DC} - 3\vec{DM} = -5\vec{DM}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие вектор $\vec{DM}$, и остальные слагаемые:

$(\vec{DA} + 2\vec{DB} + 3\vec{DC}) - (1+2+3)\vec{DM} = -5\vec{DM}$

$\vec{DA} + 2\vec{DB} + 3\vec{DC} - 6\vec{DM} = -5\vec{DM}$

Теперь выразим вектор $\vec{DM}$:

$\vec{DA} + 2\vec{DB} + 3\vec{DC} = 6\vec{DM} - 5\vec{DM}$

$\vec{DM} = \vec{DA} + 2\vec{DB} + 3\vec{DC}$

Полученное равенство однозначно определяет вектор $\vec{DM}$, так как точки $A, B, C, D$ фиксированы в пространстве. Следовательно, положение точки $M$ относительно точки $D$ также определено однозначно. Точка $M$ существует и единственна. Условие, что точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости, гарантирует, что векторы $\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC}$ не компланарны и образуют базис в пространстве, что подтверждает единственность решения.

Ответ: Искомая точка $M$ — это такая точка, положение которой определяется векторным равенством $\vec{DM} = \vec{DA} + 2\vec{DB} + 3\vec{DC}$.