Номер 1209, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1209. Может ли вектор $\vec{a} - \vec{b}$ иметь длину, которая больше длины каждого из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$? Подтвердите свой ответ примерами.

Да, может. Длина вектора разности $|\vec{a} - \vec{b}|$ может быть больше длины каждого из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Это происходит в том случае, когда угол $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является тупым, то есть $90^\circ < \theta \le 180^\circ$.

Геометрически векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и их разность $\vec{a} - \vec{b}$ образуют треугольник. Длина вектора разности $|\vec{a} - \vec{b}|$ соответствует длине стороны треугольника, лежащей напротив угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Если угол $\theta$ тупой, то он является наибольшим углом в треугольнике, и, следовательно, противолежащая ему сторона $|\vec{a} - \vec{b}|$ будет самой длинной.

Алгебраически это можно показать с помощью формулы для квадрата длины вектора разности:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

Если угол $\theta$ тупой ($90^\circ < \theta \le 180^\circ$), то его косинус отрицателен ($\cos\theta < 0$). В этом случае слагаемое $-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ становится положительным. Таким образом, мы получаем:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + (\text{положительное число})$

Отсюда очевидно, что $|\vec{a} - \vec{b}|^2 > |\vec{a}|^2$ и $|\vec{a} - \vec{b}|^2 > |\vec{b}|^2$ (для ненулевых векторов). Следовательно, и сама длина $|\vec{a} - \vec{b}|$ будет больше длин $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$.

Пример 1: Противоположно направленные векторы

Пусть векторы заданы координатами: $\vec{a} = \{4; 0\}$ и $\vec{b} = \{-3; 0\}$. Угол между ними равен $180^\circ$.

Найдем их длины:

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3$

Теперь найдем вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ и его длину:

$\vec{a} - \vec{b} = \{4 - (-3); 0 - 0\} = \{7; 0\}$

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7^2 + 0^2} = 7$

Сравнивая длины, получаем: $7 > 4$ и $7 > 3$. Таким образом, $|\vec{a} - \vec{b}| > |\vec{a}|$ и $|\vec{a} - \vec{b}| > |\vec{b}|$.

Пример 2: Векторы под тупым углом

Пусть $\vec{a} = \{3; 0\}$ и $\vec{b} = \{-1; 2\}$. Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 = -3 < 0$, что подтверждает, что угол между векторами тупой.

Найдем их длины:

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Найдем вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ и его длину:

$\vec{a} - \vec{b} = \{3 - (-1); 0 - 2\} = \{4; -2\}$

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

Сравним длины: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{20}$, $|\vec{a}| = 3 = \sqrt{9}$, $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

Так как $20 > 9$ и $20 > 5$, то $\sqrt{20} > \sqrt{9}$ и $\sqrt{20} > \sqrt{5}$. Условие выполняется.

Ответ: Да, вектор $\vec{a} - \vec{b}$ может иметь длину, которая больше длины каждого из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Это возможно, если угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ тупой.