Номер 1205, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1205. Составьте уравнение сферы $\omega$, проходящей через точки $O(0; 0; 0)$, $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$, $C(0; 0; c)$. Докажите, что прямая, проведенная через точку $O$ перпендикулярно плоскости $ABC$, пересекает ее и сферу $\omega$ соответственно в таких точках $M$ и $N$, что $OM : ON = 1 : 3$.

Составьте уравнение сферы ω, проходящей через точки O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

Общее уравнение сферы в декартовых координатах имеет вид $x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0$. Чтобы найти коэффициенты $D, E, F, G$, подставим в это уравнение координаты заданных точек.

Поскольку сфера проходит через начало координат $O(0; 0; 0)$, подстановка этих координат в уравнение даёт $0^2 + 0^2 + 0^2 + D \cdot 0 + E \cdot 0 + F \cdot 0 + G = 0$, откуда $G = 0$. Уравнение принимает вид: $x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz = 0$.

Подставим координаты точки $A(a; 0; 0)$: $a^2 + 0^2 + 0^2 + D \cdot a = 0 \implies a^2 + Da = 0$. Поскольку точки $O$ и $A$ различны, можно считать, что $a \neq 0$. Тогда $a + D = 0$, следовательно, $D = -a$.

Аналогично для точки $B(0; b; 0)$ получаем $0^2 + b^2 + 0^2 + E \cdot b = 0 \implies b^2 + Eb = 0$. Так как $b \neq 0$, то $E = -b$.

И для точки $C(0; 0; c)$ получаем $0^2 + 0^2 + c^2 + F \cdot c = 0 \implies c^2 + Fc = 0$. Так как $c \neq 0$, то $F = -c$.

Подставив найденные коэффициенты, получаем искомое уравнение сферы ω:

$x^2 + y^2 + z^2 - ax - by - cz = 0$.

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 - ax - by - cz = 0$.

Докажите, что прямая, проведенная через точку О перпендикулярно плоскости ABC, пересекает ее и сферу ω соответственно в таких точках M и N, что OM : ON = 1 : 3

Сначала найдём уравнение плоскости $ABC$. Так как точки $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$ и $C(0; 0; c)$ лежат на осях координат, уравнение плоскости "в отрезках" имеет вид: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$. Нормальный вектор $\vec{n}$ к этой плоскости имеет координаты $\vec{n} = (\frac{1}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{c})$.

Прямая, проходящая через начало координат $O(0; 0; 0)$ и перпендикулярная плоскости $ABC$, имеет направляющим вектором нормальный вектор $\vec{n}$. Её параметрические уравнения: $x = \frac{1}{a}t, \quad y = \frac{1}{b}t, \quad z = \frac{1}{c}t$.

Теперь найдём точку $M$ — пересечение этой прямой с плоскостью $ABC$. Для этого подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости:$\frac{1}{a}\left(\frac{t}{a}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{t}{b}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{t}{c}\right) = 1$, что приводит к $t\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right) = 1$. Обозначим $S = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$. Тогда значение параметра для точки $M$ равно $t_M = \frac{1}{S}$. Расстояние $OM$ от начала координат до точки $M$ вычисляется как $OM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2 + z_M^2} = \sqrt{\left(\frac{t_M}{a}\right)^2 + \left(\frac{t_M}{b}\right)^2 + \left(\frac{t_M}{c}\right)^2} = \sqrt{t_M^2 S} = |t_M|\sqrt{S}$. Так как $S > 0$, то $t_M > 0$, и $OM = t_M\sqrt{S} = \frac{1}{S}\sqrt{S} = \frac{1}{\sqrt{S}}$.

Далее найдём точку $N$ — пересечение прямой со сферой ω (отличное от точки O). Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение сферы $x^2 + y^2 + z^2 - ax - by - cz = 0$:$\left(\frac{t}{a}\right)^2 + \left(\frac{t}{b}\right)^2 + \left(\frac{t}{c}\right)^2 - a\left(\frac{t}{a}\right) - b\left(\frac{t}{b}\right) - c\left(\frac{t}{c}\right) = 0$. После упрощения получаем $t^2 S - 3t = 0$, или $t(tS - 3) = 0$. Это уравнение имеет два решения: $t=0$, соответствующее точке $O$, и $t_N = \frac{3}{S}$, соответствующее точке $N$. Расстояние $ON$ от начала координат до точки $N$ равно:$ON = \sqrt{x_N^2 + y_N^2 + z_N^2} = \sqrt{\left(\frac{t_N}{a}\right)^2 + \left(\frac{t_N}{b}\right)^2 + \left(\frac{t_N}{c}\right)^2} = \sqrt{t_N^2 S} = |t_N|\sqrt{S} = \frac{3}{S}\sqrt{S} = \frac{3}{\sqrt{S}}$.

Наконец, находим отношение расстояний: $\frac{OM}{ON} = \frac{1/\sqrt{S}}{3/\sqrt{S}} = \frac{1}{3}$. Следовательно, $OM : ON = 1 : 3$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.