Номер 1203, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1203. Через точку $K(x_0; y_0; z_0)$ к сфере $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = R^2$ проведена касательная $KT$, $T$ — точка касания. Найдите длину отрезка $KT$.

Обозначим центр сферы буквой $C$. Уравнение сферы дано в виде $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = R^2$. Из этого уравнения следует, что центр сферы $C$ имеет координаты $(x_1; y_1; z_1)$, а ее радиус равен $R$.

Рассмотрим треугольник, образованный точкой $K(x_0; y_0; z_0)$, центром сферы $C(x_1; y_1; z_1)$ и точкой касания $T$. По свойству касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания (отрезок $CT$), перпендикулярен касательной (прямой $KT$).

Таким образом, треугольник $\triangle KTC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$ ($\angle KTC = 90^\circ$).

Применим к треугольнику $\triangle KTC$ теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $KT^2 + CT^2 = KC^2$.

Из этой формулы выразим квадрат длины искомого отрезка $KT$: $KT^2 = KC^2 - CT^2$.

Теперь найдем значения для $KC^2$ и $CT^2$.

Длина катета $CT$ — это радиус сферы, следовательно, $CT = R$ и $CT^2 = R^2$.

Длина гипотенузы $KC$ — это расстояние между точкой $K(x_0; y_0; z_0)$ и центром сферы $C(x_1; y_1; z_1)$. Квадрат этого расстояния вычисляется по формуле: $KC^2 = (x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2 + (z_0 - z_1)^2$.

Подставим полученные выражения для $KC^2$ и $CT^2$ в формулу для $KT^2$: $KT^2 = (x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2 + (z_0 - z_1)^2 - R^2$.

Для нахождения длины отрезка $KT$ извлечем квадратный корень из правой части равенства: $KT = \sqrt{(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2 + (z_0 - z_1)^2 - R^2}$.

Ответ: $KT = \sqrt{(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2 + (z_0 - z_1)^2 - R^2}$.