Номер 1206, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1206. Диагонали параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $Q$. Сделайте соответствующий рисунок в тетради и запишите векторы, которые начинаются и заканчиваются в указанных точках и:

а) одинаково направлены с вектором $\vec{AC_1}$;

б) противоположно направлены с вектором $\vec{BC_1}$;

в) равны вектору $\vec{AC}$;

г) коллинеарны с вектором $\vec{BD_1}$.

а) одинаково направлены с вектором $\vec{AC_1}$

Одинаково направленные (или сонаправленные) векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых и указывают в одну и ту же сторону. Вектор $\vec{AC_1}$ — это главная диагональ параллелепипеда. Точка $Q$ является серединой всех главных диагоналей, включая $AC_1$. Следовательно, векторы $\vec{AQ}$ и $\vec{QC_1}$ лежат на той же прямой, что и вектор $\vec{AC_1}$, и направлены в ту же сторону (от точки $A$ к точке $C_1$).
Ответ: $\vec{AQ}$, $\vec{QC_1}$.

б) противоположно направлены с вектором $\vec{BC_1}$

Противоположно направленные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых, но указывают в противоположные стороны. Вектор $\vec{C_1B}$ противоположен вектору $\vec{BC_1}$, так как у них совпадают точки начала и конца, но в обратном порядке. Также рассмотрим грань $BCC_1B_1$ и параллельную ей грань $ADD_1A_1$. Вектор $\vec{BC_1}$ — диагональ грани $BCC_1B_1$. Вектор $\vec{AD_1}$ — соответствующая диагональ грани $ADD_1A_1$, и он равен вектору $\vec{BC_1}$ ($\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{BC_1}$). А вот вектор $\vec{D_1A}$ будет ему противоположен: $\vec{D_1A} = \vec{D_1A_1} + \vec{A_1A} = -\vec{A_1D_1} - \vec{AA_1} = -\vec{BC} - \vec{CC_1} = -(\vec{BC} + \vec{CC_1}) = -\vec{BC_1}$.
Ответ: $\vec{C_1B}$, $\vec{D_1A}$.

в) равны вектору $\vec{AC}$

Равные векторы сонаправлены и имеют одинаковую длину. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю нижнего основания $ABCD$. В верхнем основании $A_1B_1C_1D_1$, которое параллельно и равно нижнему, соответствующая диагональ $\vec{A_1C_1}$ будет параллельна, сонаправлена и равна по длине вектору $\vec{AC}$. Следовательно, $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$.
Ответ: $\vec{A_1C_1}$.

г) коллинеарны с вектором $\vec{BD_1}$

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Их направления могут как совпадать, так и быть противоположными. Вектор $\vec{BD_1}$ — это одна из главных диагоналей, проходящая через точку $Q$. Все векторы, которые можно построить на отрезке $BD_1$ с началом и концом в точках $B$, $D_1$ и $Q$, будут коллинеарны вектору $\vec{BD_1}$. Сонаправленные с $\vec{BD_1}$: $\vec{BQ}$, $\vec{QD_1}$. Противоположно направленные с $\vec{BD_1}$: $\vec{D_1B}$, $\vec{QB}$, $\vec{D_1Q}$.
Ответ: $\vec{D_1B}$, $\vec{BQ}$, $\vec{QB}$, $\vec{QD_1}$, $\vec{D_1Q}$.