Номер 1200, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1200. Вектор $\vec{a}(-1; 1; 3)$ параллелен прямой $l$, проходящей через точку $A(1; -1; 3)$. Найдите координаты точки пересечения прямой $l$ с плоскостью:

a) $x - 3y + z + 1 = 0$;

б) $2x - 2y + z + 1 = 0$.

Для решения задачи сначала составим параметрические уравнения прямой l. Прямая проходит через точку $A(1; -1; 3)$ и имеет направляющий вектор $\vec{a}(-1; 1; 3)$.

Параметрические уравнения прямой в общем виде:
$x = x_0 + at$
$y = y_0 + bt$
$z = z_0 + ct$

Подставляя координаты точки A и вектора $\vec{a}$, получаем:
$x = 1 - t$
$y = -1 + t$
$z = 3 + 3t$

Точка пересечения прямой и плоскости должна удовлетворять как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости.

а) $x - 3y + z + 1 = 0$
Подставим выражения для $x, y, z$ из параметрических уравнений прямой в уравнение плоскости:
$(1 - t) - 3(-1 + t) + (3 + 3t) + 1 = 0$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно параметра $t$:
$1 - t + 3 - 3t + 3 + 3t + 1 = 0$
$(-t - 3t + 3t) + (1 + 3 + 3 + 1) = 0$
$-t + 8 = 0$
$t = 8$
Теперь найдем координаты точки пересечения, подставив найденное значение $t = 8$ в параметрические уравнения прямой:
$x = 1 - 8 = -7$
$y = -1 + 8 = 7$
$z = 3 + 3 \cdot 8 = 3 + 24 = 27$
Координаты точки пересечения: (-7; 7; 27).
Ответ: (-7; 7; 27)

б) $2x - 2y + z + 1 = 0$
Аналогично подставим выражения для $x, y, z$ из параметрических уравнений прямой в уравнение данной плоскости:
$2(1 - t) - 2(-1 + t) + (3 + 3t) + 1 = 0$
Раскроем скобки и решим уравнение:
$2 - 2t + 2 - 2t + 3 + 3t + 1 = 0$
$(-2t - 2t + 3t) + (2 + 2 + 3 + 1) = 0$
$-t + 8 = 0$
$t = 8$
Значение параметра $t$ оказалось таким же. Подставим его в уравнения прямой, чтобы найти координаты точки пересечения:
$x = 1 - 8 = -7$
$y = -1 + 8 = 7$
$z = 3 + 3 \cdot 8 = 3 + 24 = 27$
Координаты точки пересечения: (-7; 7; 27).
Ответ: (-7; 7; 27)