Номер 1194, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1194. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $B(2; -2; 1)$ и прямую, по которой плоскость $2x + y - 3z + 1 = 0$ пересекает плоскость $Oxy$.

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $B(2; -2; 1)$ и через прямую пересечения двух других плоскостей.

Первая плоскость задана уравнением $2x + y - 3z + 1 = 0$.

Вторая плоскость — это координатная плоскость $Oxy$, ее уравнение $z = 0$.

Прямая, по которой пересекаются эти две плоскости, задается системой уравнений:$\begin{cases}2x + y - 3z + 1 = 0 \\z = 0\end{cases}$

Любая плоскость, проходящая через эту прямую, принадлежит пучку плоскостей, который можно описать уравнением:$ \alpha(2x + y - 3z + 1) + \beta z = 0 $где $ \alpha $ и $ \beta $ — произвольные коэффициенты, не равные нулю одновременно.

Для удобства, если предположить, что $ \alpha \neq 0 $, можно разделить все уравнение на $ \alpha $ и ввести новый параметр $ \lambda = \frac{\beta}{\alpha} $. Уравнение пучка примет вид:$ 2x + y - 3z + 1 + \lambda z = 0 $Сгруппируем слагаемые при $z$:$ 2x + y + (\lambda - 3)z + 1 = 0 $

Искомая плоскость должна проходить через точку $B(2; -2; 1)$. Чтобы найти конкретную плоскость из пучка, подставим координаты точки $B$ в уравнение пучка и найдем соответствующее значение $ \lambda $:$ 2(2) + (-2) + (\lambda - 3)(1) + 1 = 0 $$ 4 - 2 + \lambda - 3 + 1 = 0 $$ (\lambda) + (4 - 2 - 3 + 1) = 0 $$ \lambda + 0 = 0 $$ \lambda = 0 $

Теперь подставим найденное значение $ \lambda = 0 $ обратно в уравнение пучка плоскостей, чтобы получить уравнение искомой плоскости:$ 2x + y + (0 - 3)z + 1 = 0 $$ 2x + y - 3z + 1 = 0 $

Это означает, что искомая плоскость совпадает с одной из исходных плоскостей, так как точка $B$ уже лежит на ней.

Ответ: $2x + y - 3z + 1 = 0$