Номер 1195, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1195. Составьте уравнение плоскости, которая в координатных плоскостях $Oxy$ и $Oxz$ проходит соответственно через прямые:

а) $3x + 2y - 6 = 0$ и $x + 2z - 2 = 0$;

б) $2x - y - 2 = 0$ и $3x - z - 3 = 0$.

а)

Пусть искомое уравнение плоскости имеет общий вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

По условию, эта плоскость проходит через прямую $3x + 2y - 6 = 0$ в координатной плоскости $Oxy$. Уравнение плоскости $Oxy$ — это $z = 0$. Линия пересечения (след) искомой плоскости с плоскостью $Oxy$ находится путем подстановки $z=0$ в ее общее уравнение: $Ax + By + D = 0$. Этот след должен совпадать с прямой $3x + 2y - 6 = 0$. Сравнивая коэффициенты двух уравнений, мы можем (с точностью до произвольного множителя) положить $A=3$, $B=2$, $D=-6$. Таким образом, уравнение искомой плоскости можно записать в виде $3x + 2y + Cz - 6 = 0$, где $C$ — пока неизвестный коэффициент.

Далее, по условию, эта же плоскость проходит через прямую $x + 2z - 2 = 0$ в координатной плоскости $Oxz$. Уравнение плоскости $Oxz$ — это $y = 0$. Найдем след искомой плоскости на плоскости $Oxz$, подставив $y=0$ в ее уравнение $3x + 2y + Cz - 6 = 0$: $3x + 2(0) + Cz - 6 = 0 \Rightarrow 3x + Cz - 6 = 0$. Этот след должен совпадать с прямой $x + 2z - 2 = 0$. Чтобы сравнить два уравнения, приведем их к одному виду. Умножим уравнение $x + 2z - 2 = 0$ на 3: $3(x + 2z - 2) = 0 \Rightarrow 3x + 6z - 6 = 0$. Теперь сравниваем уравнения $3x + Cz - 6 = 0$ и $3x + 6z - 6 = 0$. Очевидно, что для их совпадения необходимо, чтобы $C=6$.

Подставляя найденное значение $C=6$ в уравнение плоскости, получаем окончательный результат.

Ответ: $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.

б)

Будем действовать аналогично пункту а). Пусть искомое уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Ее след в плоскости $Oxy$ ($z=0$) задается уравнением $Ax + By + D = 0$. По условию, этот след совпадает с прямой $2x - y - 2 = 0$. Отсюда, с точностью до множителя, можем положить $A=2$, $B=-1$, $D=-2$. Уравнение плоскости принимает вид: $2x - y + Cz - 2 = 0$.

Теперь найдем след этой плоскости в плоскости $Oxz$ ($y=0$). Для этого подставим $y=0$ в полученное уравнение: $2x - (0) + Cz - 2 = 0 \Rightarrow 2x + Cz - 2 = 0$. Этот след должен совпадать с прямой $3x - z - 3 = 0$. Два уравнения прямой на плоскости ($ax+by+c=0$ и $a'x+b'y+c'=0$) определяют одну и ту же прямую тогда и только тогда, когда их коэффициенты пропорциональны: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$. Применим это правило к нашим прямым в плоскости $Oxz$: $2x + Cz - 2 = 0$ и $3x - z - 3 = 0$. $\frac{2}{3} = \frac{C}{-1} = \frac{-2}{-3}$.

Из равенства крайних членов $\frac{2}{3} = \frac{-2}{-3}$ видим, что пропорция верна. Теперь найдем $C$ из равенства первого и второго членов: $\frac{2}{3} = \frac{C}{-1}$. Отсюда $C = -1 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$.

Подставляем найденное значение $C$ в уравнение плоскости $2x - y + Cz - 2 = 0$: $2x - y - \frac{2}{3}z - 2 = 0$. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим все уравнение на 3: $3(2x - y - \frac{2}{3}z - 2) = 3 \cdot 0$ $6x - 3y - 2z - 6 = 0$.

Ответ: $6x - 3y - 2z - 6 = 0$.