Номер 1188, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1188. В плоскости $2x - 3y + z - 3 = 0$ находится квадрат $ABCD$. Найдите координаты точек $B$ и $D$, учитывая, что:

а) $A(1; 1; 4)$, $C(3; 1; 0)$;

б) $A(2; 0; -1)$, $C(-2; -2; 1)$.

а) Даны координаты противоположных вершин квадрата $A(1; 1; 4)$ и $C(3; 1; 0)$, который лежит в плоскости $2x - 3y + z - 3 = 0$. Необходимо найти координаты двух других вершин, $B$ и $D$. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ пересекаются в его центре $M$, который является серединой обеих диагоналей. В квадрате диагонали перпендикулярны и равны по длине.
1. Найдём координаты центра квадрата $M$ как середины отрезка $AC$:
$M = \left( \frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2}; \frac{z_A+z_C}{2} \right) = \left( \frac{1+3}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{4+0}{2} \right) = (2; 1; 2)$.
2. Найдём вектор диагонали $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{3-1; 1-1; 0-4\} = \{2; 0; -4\}$.
3. Найдём длину половины диагонали, то есть расстояние от центра $M$ до вершины $A$. Эта длина будет равна и длине отрезка $MB$.
$|\vec{MA}| = \sqrt{(1-2)^2 + (1-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Следовательно, $|\vec{MB}| = |\vec{MD}| = \sqrt{5}$.
4. Вектор второй диагонали $\vec{BD}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{AC}$ и лежать в той же плоскости. Вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярен её нормальному вектору $\vec{n}$. Для плоскости $2x - 3y + z - 3 = 0$ нормальный вектор $\vec{n}=\{2; -3; 1\}$. Таким образом, направляющий вектор диагонали $BD$ (обозначим его $\vec{d}$) можно найти как векторное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{n}$.
$\vec{d} = \vec{AC} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -4 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - (-4) \cdot (-3)) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - (-4) \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot (-3) - 0 \cdot 2) = -12\mathbf{i} - 10\mathbf{j} - 6\mathbf{k} = \{-12; -10; -6\}$.
Для упрощения расчётов можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на $-2$: $\vec{d'} = \{6; 5; 3\}$.
5. Векторы $\vec{MB}$ и $\vec{MD}$ коллинеарны вектору $\vec{d'}$, поэтому $\vec{MB} = k \cdot \vec{d'}$ для некоторого скаляра $k$. Найдём $k$ из условия, что длина $|\vec{MB}| = \sqrt{5}$.
$|\vec{MB}|^2 = |k \cdot \{6; 5; 3\}|^2 = k^2 \cdot (6^2 + 5^2 + 3^2) = k^2 \cdot (36+25+9) = 70k^2$.
$70k^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 \implies k^2 = \frac{5}{70} = \frac{1}{14} \implies k = \pm \frac{1}{\sqrt{14}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{14}$.
6. Теперь мы можем найти векторы $\vec{MB}$ и $\vec{MD}$:
$\vec{MB} = \frac{\sqrt{14}}{14}\{6; 5; 3\} = \left\{\frac{6\sqrt{14}}{14}; \frac{5\sqrt{14}}{14}; \frac{3\sqrt{14}}{14}\right\} = \left\{\frac{3\sqrt{14}}{7}; \frac{5\sqrt{14}}{14}; \frac{3\sqrt{14}}{14}\right\}$.
$\vec{MD} = -\frac{\sqrt{14}}{14}\{6; 5; 3\} = \left\{-\frac{3\sqrt{14}}{7}; -\frac{5\sqrt{14}}{14}; -\frac{3\sqrt{14}}{14}\right\}$.
7. Находим координаты точек $B$ и $D$, прибавляя эти векторы к координатам центра $M(2; 1; 2)$:
$B = M + \vec{MB} = \left(2 + \frac{3\sqrt{14}}{7}; 1 + \frac{5\sqrt{14}}{14}; 2 + \frac{3\sqrt{14}}{14}\right)$.
$D = M + \vec{MD} = \left(2 - \frac{3\sqrt{14}}{7}; 1 - \frac{5\sqrt{14}}{14}; 2 - \frac{3\sqrt{14}}{14}\right)$.
Ответ: $B\left(2 + \frac{3\sqrt{14}}{7}; 1 + \frac{5\sqrt{14}}{14}; 2 + \frac{3\sqrt{14}}{14}\right)$, $D\left(2 - \frac{3\sqrt{14}}{7}; 1 - \frac{5\sqrt{14}}{14}; 2 - \frac{3\sqrt{14}}{14}\right)$ (или наоборот).

б) Даны координаты вершин $A(2; 0; -1)$ и $C(-2; -2; 1)$ квадрата, который лежит в плоскости $2x - 3y + z - 3 = 0$.
1. Найдём координаты центра квадрата $M$ как середины диагонали $AC$:
$M = \left( \frac{2+(-2)}{2}; \frac{0+(-2)}{2}; \frac{-1+1}{2} \right) = (0; -1; 0)$.
2. Найдём вектор диагонали $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = \{-2-2; -2-0; 1-(-1)\} = \{-4; -2; 2\}$.
3. Найдём квадрат длины половины диагонали, $|\vec{MA}|^2$. Эта величина будет равна $|\vec{MB}|^2$.
$|\vec{MA}|^2 = (2-0)^2 + (0-(-1))^2 + (-1-0)^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4+1+1=6$.
4. Направляющий вектор $\vec{d}$ диагонали $BD$ перпендикулярен вектору $\vec{AC}$ и нормальному вектору плоскости $\vec{n}=\{2; -3; 1\}$. Найдём $\vec{d}$ как их векторное произведение:
$\vec{d} = \vec{AC} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & -2 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2 - (-6)) - \mathbf{j}(-4 - 4) + \mathbf{k}(12 - (-4)) = 4\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 16\mathbf{k} = \{4; 8; 16\}$.
Для удобства возьмём коллинеарный вектор $\vec{d'} = \{1; 2; 4\}$.
5. Вектор $\vec{MB}$ можно представить как $\vec{MB} = k \cdot \vec{d'}$. Найдём $k$ из условия $|\vec{MB}|^2 = 6$.
$|\vec{MB}|^2 = |k \cdot \{1; 2; 4\}|^2 = k^2 \cdot (1^2 + 2^2 + 4^2) = k^2 \cdot (1+4+16) = 21k^2$.
$21k^2 = 6 \implies k^2 = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \implies k = \pm \sqrt{\frac{2}{7}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{7}$.
6. Теперь найдём векторы $\vec{MB}$ и $\vec{MD}$:
$\vec{MB} = \frac{\sqrt{14}}{7}\{1; 2; 4\} = \left\{\frac{\sqrt{14}}{7}; \frac{2\sqrt{14}}{7}; \frac{4\sqrt{14}}{7}\right\}$.
$\vec{MD} = -\frac{\sqrt{14}}{7}\{1; 2; 4\} = \left\{-\frac{\sqrt{14}}{7}; -\frac{2\sqrt{14}}{7}; -\frac{4\sqrt{14}}{7}\right\}$.
7. Находим координаты точек $B$ и $D$, прибавляя эти векторы к координатам центра $M(0; -1; 0)$:
$B = M + \vec{MB} = \left(0 + \frac{\sqrt{14}}{7}; -1 + \frac{2\sqrt{14}}{7}; 0 + \frac{4\sqrt{14}}{7}\right) = \left(\frac{\sqrt{14}}{7}; -1 + \frac{2\sqrt{14}}{7}; \frac{4\sqrt{14}}{7}\right)$.
$D = M + \vec{MD} = \left(0 - \frac{\sqrt{14}}{7}; -1 - \frac{2\sqrt{14}}{7}; 0 - \frac{4\sqrt{14}}{7}\right) = \left(-\frac{\sqrt{14}}{7}; -1 - \frac{2\sqrt{14}}{7}; -\frac{4\sqrt{14}}{7}\right)$.
Ответ: $B\left(\frac{\sqrt{14}}{7}; -1 + \frac{2\sqrt{14}}{7}; \frac{4\sqrt{14}}{7}\right)$, $D\left(-\frac{\sqrt{14}}{7}; -1 - \frac{2\sqrt{14}}{7}; -\frac{4\sqrt{14}}{7}\right)$ (или наоборот).