Номер 1183, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1183. Найдите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей $3x - 2y + 2z + 1 = 0$ и $2x - y + z + 5 = 0$ и точку:

а) A(1; 0; -1);

б) B(-1; -1; 1).

Уравнение любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух данных плоскостей $3x - 2y + 2z + 1 = 0$ и $2x - y + z + 5 = 0$, можно записать в виде уравнения пучка плоскостей:

$(3x - 2y + 2z + 1) + \lambda(2x - y + z + 5) = 0$, где $\lambda$ — некоторый числовой коэффициент.

Для нахождения уравнения искомой плоскости необходимо определить значение $\lambda$. Это можно сделать, используя тот факт, что плоскость проходит через заданную точку.

а)

Искомая плоскость проходит через точку A(1; 0; -1). Чтобы найти значение $\lambda$, подставим координаты этой точки в уравнение пучка:

$(3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 1) + \lambda(2 \cdot 1 - 0 + (-1) + 5) = 0$

$(3 - 0 - 2 + 1) + \lambda(2 - 1 + 5) = 0$

$2 + \lambda \cdot 6 = 0$

$6\lambda = -2$

$\lambda = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь подставим найденное значение $\lambda = -1/3$ обратно в уравнение пучка:

$(3x - 2y + 2z + 1) - \frac{1}{3}(2x - y + z + 5) = 0$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3(3x - 2y + 2z + 1) - (2x - y + z + 5) = 0$

$9x - 6y + 6z + 3 - 2x + y - z - 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x - 2x) + (-6y + y) + (6z - z) + (3 - 5) = 0$

$7x - 5y + 5z - 2 = 0$

Ответ: $7x - 5y + 5z - 2 = 0$.

б)

Искомая плоскость проходит через точку B(-1; -1; 1). Подставим координаты этой точки в уравнение пучка плоскостей:

$(3 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1) + \lambda(2 \cdot (-1) - (-1) + 1 + 5) = 0$

$(-3 + 2 + 2 + 1) + \lambda(-2 + 1 + 1 + 5) = 0$

$2 + \lambda \cdot 5 = 0$

$5\lambda = -2$

$\lambda = -\frac{2}{5}$

Подставим найденное значение $\lambda = -2/5$ в уравнение пучка:

$(3x - 2y + 2z + 1) - \frac{2}{5}(2x - y + z + 5) = 0$

Умножим обе части уравнения на 5:

$5(3x - 2y + 2z + 1) - 2(2x - y + z + 5) = 0$

$15x - 10y + 10z + 5 - 4x + 2y - 2z - 10 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(15x - 4x) + (-10y + 2y) + (10z - 2z) + (5 - 10) = 0$

$11x - 8y + 8z - 5 = 0$

Ответ: $11x - 8y + 8z - 5 = 0$.