Номер 1176, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1176. Найдите длины сторон и косинусы углов треугольника ABC, учитывая, что:

a) $A(3; -1; 2)$, $B(-1; 0; 1)$, $C(-1; 1; 6)$;

b) $A(3; 5; 4)$, $B(1; 2; -2)$, $C(-1; 0; 2)$.

а) Для нахождения длин сторон и косинусов углов треугольника $ABC$ с вершинами $A(3; -1; 2)$, $B(-1; 0; 1)$, $C(-1; 1; 6)$ выполним следующие действия:

1. Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам треугольника:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-1 - 3; 0 - (-1); 1 - 2) = (-4; 1; -1)$.
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-1 - (-1); 1 - 0; 6 - 1) = (0; 1; 5)$.
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (-1 - 3; 1 - (-1); 6 - 2) = (-4; 2; 4)$.

2. Найдем длины сторон, которые равны модулям соответствующих векторов. Длина вектора $\vec{v}(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
$|AB| = |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 1 + 25} = \sqrt{26}$.
$|AC| = |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

3. Найдем косинусы углов. Косинус угла между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле $\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
Угол $A$ образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-4) \cdot (-4) + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = 16 + 2 - 4 = 14$.
$\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{14}{3\sqrt{2} \cdot 6} = \frac{14}{18\sqrt{2}} = \frac{7}{9\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{18}$.
Угол $B$ образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Вектор $\vec{BA} = -\vec{AB} = (4; -1; 1)$.
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 5 = 0 - 1 + 5 = 4$.
$\cos(B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|BA| \cdot |BC|} = \frac{4}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}} = \frac{4}{3\sqrt{52}} = \frac{4}{3 \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{2}{3\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{39}$.
Угол $C$ образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$. Векторы $\vec{CA} = -\vec{AC} = (4; -2; -4)$ и $\vec{CB} = -\vec{BC} = (0; -1; -5)$.
$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 4 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) + (-4) \cdot (-5) = 0 + 2 + 20 = 22$.
$\cos(C) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|CA| \cdot |CB|} = \frac{22}{6 \cdot \sqrt{26}} = \frac{11}{3\sqrt{26}} = \frac{11\sqrt{26}}{78}$.

Ответ: длины сторон: $|AB| = 3\sqrt{2}$, $|BC| = \sqrt{26}$, $|AC| = 6$; косинусы углов: $\cos(A) = \frac{7\sqrt{2}}{18}$, $\cos(B) = \frac{2\sqrt{13}}{39}$, $\cos(C) = \frac{11\sqrt{26}}{78}$.

б) Для треугольника $ABC$ с вершинами $A(3; 5; 4)$, $B(1; 2; -2)$, $C(-1; 0; 2)$ найдем длины сторон и косинусы углов.

1. Найдем координаты векторов сторон:
$\vec{AB} = (1 - 3; 2 - 5; -2 - 4) = (-2; -3; -6)$.
$\vec{BC} = (-1 - 1; 0 - 2; 2 - (-2)) = (-2; -2; 4)$.
$\vec{AC} = (-1 - 3; 0 - 5; 2 - 4) = (-4; -5; -2)$.

2. Найдем длины сторон как модули векторов:
$|AB| = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$|AC| = |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 25 + 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

3. Найдем косинусы углов через скалярное произведение векторов:
Угол $A$ (между $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$):
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2) \cdot (-4) + (-3) \cdot (-5) + (-6) \cdot (-2) = 8 + 15 + 12 = 35$.
$\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{35}{7 \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{5}{3\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Угол $B$ (между $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$), где $\vec{BA} = (2; 3; 6)$:
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-2) + 3 \cdot (-2) + 6 \cdot 4 = -4 - 6 + 24 = 14$.
$\cos(B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|BA| \cdot |BC|} = \frac{14}{7 \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{14}{14\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.
Угол $C$ (между $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$), где $\vec{CA} = (4; 5; 2)$ и $\vec{CB} = (2; 2; -4)$:
$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 4 \cdot 2 + 5 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = 8 + 10 - 8 = 10$.
$\cos(C) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|CA| \cdot |CB|} = \frac{10}{3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{10}{6\sqrt{30}} = \frac{5}{3\sqrt{30}} = \frac{5\sqrt{30}}{90} = \frac{\sqrt{30}}{18}$.

Ответ: длины сторон: $|AB| = 7$, $|BC| = 2\sqrt{6}$, $|AC| = 3\sqrt{5}$; косинусы углов: $\cos(A) = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\cos(B) = \frac{\sqrt{6}}{6}$, $\cos(C) = \frac{\sqrt{30}}{18}$.