Номер 1172, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1172. Точки $A(-4; 7; 2)$, $B(-1; 7; 5)$, $C(3; 3; 7)$ — вершины равнобедренной трапеции $ABCD$ с основанием $AD$ (рис. 352). Найдите координаты вершины $D$.

Рис. 352

По условию задачи, ABCD — равнобедренная трапеция с основанием AD. Это означает, что основания BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$), а боковые стороны AB и CD равны по длине ($|AB| = |CD|$).

Использование условия параллельности оснований

Поскольку основания BC и AD параллельны, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны. Следовательно, существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{AD} = k \cdot \vec{BC}$.
Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, используя координаты точек $B(-1; 7; 5)$ и $C(3; 3; 7)$:
$\vec{BC} = \{x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B\} = \{3 - (-1); 3 - 7; 7 - 5\} = \{4; -4; 2\}$.
Пусть искомая вершина D имеет координаты $(x; y; z)$. Тогда вектор $\vec{AD}$ имеет координаты:
$\vec{AD} = \{x - x_A; y - y_A; z - z_A\} = \{x - (-4); y - 7; z - 2\} = \{x+4; y-7; z-2\}$.
Из векторного равенства $\vec{AD} = k \cdot \vec{BC}$ получаем систему уравнений, из которой выражаем координаты точки D через параметр $k$:
$x+4 = 4k \implies x = 4k - 4$
$y-7 = -4k \implies y = 7 - 4k$
$z-2 = 2k \implies z = 2k + 2$

Использование условия равенства боковых сторон

Так как трапеция равнобедренная, то $|AB| = |CD|$, а значит и $|AB|^2 = |CD|^2$.
Найдем квадрат длины стороны AB, зная координаты точек $A(-4; 7; 2)$ и $B(-1; 7; 5)$:
$|\vec{AB}|^2 = (-1 - (-4))^2 + (7 - 7)^2 + (5 - 2)^2 = 3^2 + 0^2 + 3^2 = 18$.
Теперь найдем квадрат длины стороны CD, используя координаты точки $C(3; 3; 7)$ и выраженные через $k$ координаты точки D:
$|\vec{CD}|^2 = ((4k - 4) - 3)^2 + ((7 - 4k) - 3)^2 + ((2k + 2) - 7)^2$
$|\vec{CD}|^2 = (4k - 7)^2 + (4 - 4k)^2 + (2k - 5)^2$.
Приравниваем квадраты длин:
$18 = (16k^2 - 56k + 49) + (16 - 32k + 16k^2) + (4k^2 - 20k + 25)$
$18 = 36k^2 - 108k + 90$
$36k^2 - 108k + 72 = 0$
Разделив на 36, получаем квадратное уравнение: $k^2 - 3k + 2 = 0$.

Нахождение координат вершины D

Корнями уравнения $k^2 - 3k + 2 = 0$ являются $k_1 = 1$ и $k_2 = 2$.
Если $k=1$, то $\vec{AD} = \vec{BC}$, и четырехугольник ABCD является параллелограммом. По определению, трапеция имеет только одну пару параллельных сторон, поэтому этот случай не подходит.
Если $k=2$, то $\vec{AD} = 2\vec{BC}$. Основания параллельны и не равны, что соответствует определению трапеции. Этот случай является решением.
Найдем координаты точки D, подставив $k=2$ в выражения для координат:
$x = 4 \cdot 2 - 4 = 4$
$y = 7 - 4 \cdot 2 = -1$
$z = 2 \cdot 2 + 2 = 6$
Следовательно, координаты вершины D: $(4; -1; 6)$.

Ответ: $D(4; -1; 6)$.