Номер 1167, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1167. Точки $A(-1; 3; 1)$, $S(0; 1; -2)$, $P(1; 0; -1)$ являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты еще одной вершины этого параллелограмма.

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма: его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что координаты середины одной диагонали равны координатам середины другой диагонали.

Пусть даны три вершины $A(-1; 3; 1)$, $S(0; 1; -2)$, $P(1; 0; -1)$, и пусть четвертая вершина $Q$ имеет координаты $(x; y; z)$.

Формула для нахождения координат середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ имеет вид: $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}; \frac{z_1+z_2}{2})$.

Поскольку порядок вершин в параллелограмме не задан, существует три возможных варианта расположения четвертой вершины. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1. Вершины A и P являются противоположными (параллелограмм ASPQ)

В этом случае диагоналями параллелограмма являются отрезки AP и SQ. Координаты их середин должны совпадать.

Координаты середины диагонали AP:

$M_{AP} = \left(\frac{-1+1}{2}; \frac{3+0}{2}; \frac{1+(-1)}{2}\right) = \left(0; \frac{3}{2}; 0\right)$

Координаты середины диагонали SQ:

$M_{SQ} = \left(\frac{0+x}{2}; \frac{1+y}{2}; \frac{-2+z}{2}\right)$

Приравнивая соответствующие координаты середин, получаем систему уравнений:

$\frac{x}{2} = 0 \implies x = 0$

$\frac{1+y}{2} = \frac{3}{2} \implies 1+y = 3 \implies y = 2$

$\frac{-2+z}{2} = 0 \implies -2+z = 0 \implies z = 2$

Таким образом, координаты четвертой вершины равны $(0; 2; 2)$.

Ответ: $(0; 2; 2)$

Случай 2. Вершины A и S являются противоположными (параллелограмм APSQ)

В этом случае диагоналями параллелограмма являются отрезки AS и PQ. Координаты их середин должны совпадать.

Координаты середины диагонали AS:

$M_{AS} = \left(\frac{-1+0}{2}; \frac{3+1}{2}; \frac{1+(-2)}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}; 2; -\frac{1}{2}\right)$

Координаты середины диагонали PQ:

$M_{PQ} = \left(\frac{1+x}{2}; \frac{0+y}{2}; \frac{-1+z}{2}\right)$

Приравнивая соответствующие координаты середин, получаем систему уравнений:

$\frac{1+x}{2} = -\frac{1}{2} \implies 1+x = -1 \implies x = -2$

$\frac{y}{2} = 2 \implies y = 4$

$\frac{-1+z}{2} = -\frac{1}{2} \implies -1+z = -1 \implies z = 0$

Таким образом, координаты четвертой вершины равны $(-2; 4; 0)$.

Ответ: $(-2; 4; 0)$

Случай 3. Вершины S и P являются противоположными (параллелограмм ASQP)

В этом случае диагоналями параллелограмма являются отрезки SP и AQ. Координаты их середин должны совпадать.

Координаты середины диагонали SP:

$M_{SP} = \left(\frac{0+1}{2}; \frac{1+0}{2}; \frac{-2+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; -\frac{3}{2}\right)$

Координаты середины диагонали AQ:

$M_{AQ} = \left(\frac{-1+x}{2}; \frac{3+y}{2}; \frac{1+z}{2}\right)$

Приравнивая соответствующие координаты середин, получаем систему уравнений:

$\frac{-1+x}{2} = \frac{1}{2} \implies -1+x = 1 \implies x = 2$

$\frac{3+y}{2} = \frac{1}{2} \implies 3+y = 1 \implies y = -2$

$\frac{1+z}{2} = -\frac{3}{2} \implies 1+z = -3 \implies z = -4$

Таким образом, координаты четвертой вершины равны $(2; -2; -4)$.

Ответ: $(2; -2; -4)$