Номер 1164, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1164. Из вершины конуса как из центра описана сферическая поверхность, касающаяся основания конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, учитывая, что указанная поверхность разделяет его объем пополам.

Обозначим высоту конуса как $H$, радиус его основания как $R$, а искомый угол при вершине осевого сечения как $2\alpha$. Тогда $\alpha$ — это угол между высотой и образующей конуса в осевом сечении.

Из прямоугольного треугольника в осевом сечении конуса следует соотношение: $\tan(\alpha) = \frac{R}{H}$, откуда $R = H \tan(\alpha)$.

Объем конуса $V_{к}$ вычисляется по формуле:$V_{к} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (H \tan(\alpha))^2 H = \frac{1}{3}\pi H^3 \tan^2(\alpha)$.

Сферическая поверхность описана из вершины конуса как из центра и касается основания конуса. Это означает, что радиус сферы $r_{сф}$ равен расстоянию от вершины до плоскости основания, то есть высоте конуса $H$. Таким образом, $r_{сф} = H$.

Часть конуса, находящаяся внутри этой сферы, представляет собой шаровой сектор. Объем шарового сектора $V_{сект}$ с радиусом сферы $r_{сф}$ и углом раствора конуса $2\alpha$ (половина угла при вершине равна $\alpha$) определяется формулой:$V_{сект} = \frac{2}{3}\pi r_{сф}^3 (1 - \cos(\alpha))$.

Подставив $r_{сф} = H$, получаем объем части конуса, ограниченной сферической поверхностью:$V_{сект} = \frac{2}{3}\pi H^3 (1 - \cos(\alpha))$.

Согласно условию задачи, эта поверхность делит объем конуса пополам, то есть:$V_{сект} = \frac{1}{2} V_{к}$.

Подставим выражения для объемов в это равенство:$\frac{2}{3}\pi H^3 (1 - \cos(\alpha)) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\pi H^3 \tan^2(\alpha)$.

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{1}{3}\pi H^3$ (поскольку $H \neq 0$):$2(1 - \cos(\alpha)) = \frac{1}{2} \tan^2(\alpha)$.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:$4(1 - \cos(\alpha)) = \tan^2(\alpha)$.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\tan^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \frac{1-\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \frac{(1-\cos(\alpha))(1+\cos(\alpha))}{\cos^2(\alpha)}$:$4(1 - \cos(\alpha)) = \frac{(1-\cos(\alpha))(1+\cos(\alpha))}{\cos^2(\alpha)}$.

Для невырожденного конуса угол $\alpha \in (0, \pi/2)$, поэтому $\cos(\alpha) \neq 1$ и $1 - \cos(\alpha) \neq 0$. Значит, можно разделить обе части уравнения на $(1 - \cos(\alpha))$:$4 = \frac{1+\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$.

Преобразуем полученное выражение в квадратное уравнение относительно $\cos(\alpha)$:$4\cos^2(\alpha) = 1 + \cos(\alpha)$$4\cos^2(\alpha) - \cos(\alpha) - 1 = 0$.

Пусть $x = \cos(\alpha)$. Тогда уравнение принимает вид:$4x^2 - x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 1 + 16 = 17$.$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}$.

Поскольку $\alpha$ — это половина угла при вершине конуса, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, что означает, что $\cos(\alpha)$ должен быть положительным. Следовательно, выбираем корень со знаком плюс:$\cos(\alpha) = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}$.

Нам нужно найти угол при вершине $2\alpha$. Для этого найдем $\cos(2\alpha)$, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.

Сначала вычислим $\cos^2(\alpha)$:$\cos^2(\alpha) = \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{8}\right)^2 = \frac{1^2 + 2\cdot 1 \cdot \sqrt{17} + (\sqrt{17})^2}{8^2} = \frac{1 + 2\sqrt{17} + 17}{64} = \frac{18 + 2\sqrt{17}}{64} = \frac{9 + \sqrt{17}}{32}$.

Теперь подставим это значение в формулу для $\cos(2\alpha)$:$\cos(2\alpha) = 2 \cdot \left(\frac{9 + \sqrt{17}}{32}\right) - 1 = \frac{9 + \sqrt{17}}{16} - 1 = \frac{9 + \sqrt{17} - 16}{16} = \frac{\sqrt{17} - 7}{16}$.

Таким образом, искомый угол $2\alpha$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $ \arccos\left(\frac{\sqrt{17} - 7}{16}\right) $.