Номер 1162, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1162. Тело имеет форму шарового сегмента, в котором сделана концентрическая выемка. Ширина кругового кольца в основании сегмента равна 4 дм; глубина выемки равна 1 дм, а ее диаметр равен 10 дм (рис. 350). Найдите объем и полную поверхность этого тела.

10 дм

4 дм

1 дм

Рис. 350

Для решения задачи сначала определим параметры шара и обоих шаровых сегментов (внешнего и внутреннего - выемки).

По условию, диаметр выемки равен 10 дм, значит, радиус ее основания $a_2 = 10 / 2 = 5$ дм. Глубина выемки, которая является высотой малого шарового сегмента, равна $h_2 = 1$ дм. Ширина кругового кольца в основании равна 4 дм, поэтому радиус основания большого шарового сегмента $a_1 = a_2 + 4 = 5 + 4 = 9$ дм.

Термин "концентрическая выемка" означает, что оба сегмента принадлежат одному и тому же шару. Найдем радиус этого шара $R$, используя параметры малого сегмента (выемки) и формулу, связывающую радиус шара $R$, радиус основания сегмента $a$ и его высоту $h$: $a^2 + (R-h)^2 = R^2$.

$a_2^2 + (R-h_2)^2 = R^2$

$5^2 + (R-1)^2 = R^2$

$25 + R^2 - 2R + 1 = R^2$

$26 - 2R = 0$

$R = 13$ дм.

Теперь, зная радиус шара $R=13$ дм и радиус основания большого сегмента $a_1=9$ дм, найдем его высоту $h_1$:

$a_1^2 + (R-h_1)^2 = R^2$

$9^2 + (13-h_1)^2 = 13^2$

$81 + (13-h_1)^2 = 169$

$(13-h_1)^2 = 169 - 81 = 88$

$13-h_1 = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$ (выбираем положительный корень, так как сегмент меньше полусферы).

$h_1 = 13 - 2\sqrt{22}$ дм.

Теперь у нас есть все необходимые параметры для нахождения объема и полной поверхности тела.

Объем тела $V$ равен разности объемов большого шарового сегмента ($V_1$) и малого шарового сегмента ($V_2$). Объем шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сег} = \frac{1}{6}\pi h(3a^2 + h^2)$.

1. Найдем объем малого сегмента (выемки) $V_2$:

$V_2 = \frac{1}{6}\pi h_2(3a_2^2 + h_2^2) = \frac{1}{6}\pi \cdot 1 \cdot (3 \cdot 5^2 + 1^2) = \frac{1}{6}\pi (75 + 1) = \frac{76\pi}{6} = \frac{38\pi}{3}$ дм³.

2. Найдем объем большого сегмента $V_1$:

Высота $h_1 = 13 - 2\sqrt{22}$ дм, радиус основания $a_1 = 9$ дм. Мы также можем использовать соотношение $h_1^2 = (13 - 2\sqrt{22})^2 = 169 - 52\sqrt{22} + 88 = 257 - 52\sqrt{22}$.

$V_1 = \frac{1}{6}\pi h_1(3a_1^2 + h_1^2) = \frac{1}{6}\pi (13 - 2\sqrt{22})(3 \cdot 9^2 + 257 - 52\sqrt{22})$

$V_1 = \frac{1}{6}\pi (13 - 2\sqrt{22})(243 + 257 - 52\sqrt{22}) = \frac{1}{6}\pi (13 - 2\sqrt{22})(500 - 52\sqrt{22})$

$V_1 = \frac{\pi}{6} (13 \cdot 500 - 13 \cdot 52\sqrt{22} - 2\sqrt{22} \cdot 500 + 2\sqrt{22} \cdot 52\sqrt{22})$

$V_1 = \frac{\pi}{6} (6500 - 676\sqrt{22} - 1000\sqrt{22} + 104 \cdot 22) = \frac{\pi}{6} (6500 - 1676\sqrt{22} + 2288)$

$V_1 = \frac{\pi}{6} (8788 - 1676\sqrt{22}) = \frac{\pi}{3} (4394 - 838\sqrt{22})$ дм³.

3. Найдем объем итогового тела:

$V = V_1 - V_2 = \frac{\pi}{3} (4394 - 838\sqrt{22}) - \frac{38\pi}{3} = \frac{\pi}{3} (4394 - 38 - 838\sqrt{22})$

$V = \frac{\pi}{3} (4356 - 838\sqrt{22}) = \frac{2\pi}{3} (2178 - 419\sqrt{22})$ дм³.

Ответ: $V = \frac{2\pi}{3} (2178 - 419\sqrt{22})$ дм³.

Полная поверхность тела $S$ состоит из трех частей: площади сферической поверхности большого сегмента ($S_{сф1}$), площади сферической поверхности малого сегмента ($S_{сф2}$) и площади плоского кольца в основании ($S_{кольца}$).

Площадь сферической поверхности сегмента (шарового свода) вычисляется по формуле $S_{сф} = 2\pi R h$. Площадь кольца: $S_{кольца} = \pi (a_1^2 - a_2^2)$.

1. Найдем площадь сферической поверхности большого сегмента $S_{сф1}$:

$S_{сф1} = 2\pi R h_1 = 2\pi \cdot 13 \cdot (13 - 2\sqrt{22}) = 26\pi(13 - 2\sqrt{22}) = 338\pi - 52\pi\sqrt{22}$ дм².

2. Найдем площадь сферической поверхности малого сегмента (выемки) $S_{сф2}$:

$S_{сф2} = 2\pi R h_2 = 2\pi \cdot 13 \cdot 1 = 26\pi$ дм².

3. Найдем площадь кольца в основании $S_{кольца}$:

$S_{кольца} = \pi (a_1^2 - a_2^2) = \pi (9^2 - 5^2) = \pi(81 - 25) = 56\pi$ дм².

4. Найдем полную поверхность тела, суммируя все три площади:

$S = S_{сф1} + S_{сф2} + S_{кольца} = (338\pi - 52\pi\sqrt{22}) + 26\pi + 56\pi$

$S = (338 + 26 + 56)\pi - 52\pi\sqrt{22} = 420\pi - 52\pi\sqrt{22}$

$S = 4\pi (105 - 13\sqrt{22})$ дм².

Ответ: $S = 4\pi (105 - 13\sqrt{22})$ дм².