Номер 1160, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1160. В треугольной пирамиде $ABCD$ $AB = CD, BC = AD$. Докажите, что если прямая $l$ проходит через середины ребер $AC$ и $BD$, то она проходит через центр $O$ описанной сферы, центр $I$ вписанной сферы и точку $M$, в которой пересекаются отрезки, соединяющие каждую вершину пирамиды с точкой пересечения медиан противоположной грани.

Пусть в треугольной пирамиде $ABCD$ выполнены равенства $AB = CD$ и $BC = AD$. Обозначим через $K$ середину ребра $AC$, а через $L$ — середину ребра $BD$. Прямая $l$, о которой идет речь в задаче, является прямой $KL$.

Рассмотрим преобразование пространства — поворот $S$ на угол $180^\circ$ вокруг прямой $l$. Прямая $l$ проходит через середину $K$ отрезка $AC$ и середину $L$ отрезка $BD$. Такой поворот отображает точку $A$ в $C$, а $C$ в $A$. Аналогично, $B$ отображается в $D$, а $D$ в $B$. Таким образом, $S(A) = C$, $S(C) = A$, $S(B) = D$, $S(D) = B$.

Проверим, что тетраэдр $ABCD$ переходит в себя при этом преобразовании. Ребро $AB$ переходит в ребро, соединяющее образы его концов, то есть в ребро $S(A)S(B) = CD$. По условию задачи, их длины равны: $AB=CD$. Ребро $BC$ переходит в ребро $S(B)S(C) = DA$. По условию, $BC=AD$. Остальные ребра также переходят в равные им по длине ребра: $AD \to S(A)S(D) = CB$ (что верно, так как $AD=BC$), $CD \to S(C)S(D) = AB$ (что верно, так как $CD=AB$). Ребра $AC$ и $BD$ переходят сами в себя ($AC \to S(A)S(C) = CA$ и $BD \to S(B)S(D) = DB$).

Таким образом, тетраэдр $ABCD$ инвариантен относительно поворота $S$. Это означает, что прямая $l$ является осью симметрии второго порядка для данного тетраэдра.

Точка является неподвижной при повороте на $180^\circ$ тогда и только тогда, когда она лежит на оси поворота. Используем этот факт для доказательства принадлежности точек $O$, $I$ и $M$ прямой $l$.

Доказательство для центра O описанной сферы

Центр $O$ описанной сферы — это центр единственной сферы, проходящей через все четыре вершины пирамиды $A, B, C, D$. Точка $O$ однозначно определяется положением этих вершин.

Как было показано выше, пирамида $ABCD$ инвариантна относительно вращения $S$ на $180^\circ$ вокруг прямой $l$. Это означает, что при этом вращении множество вершин $\{A, B, C, D\}$ переходит в себя.

Поскольку описанная сфера однозначно определяется этими четырьмя точками, она также должна быть инвариантна относительно преобразования $S$. То есть, сфера переходит сама в себя.

Центр сферы является неподвижной точкой при любом преобразовании симметрии этой сферы. Следовательно, центр $O$ должен быть неподвижен при вращении $S$, то есть $S(O) = O$.

Единственными неподвижными точками при вращении на $180^\circ$ являются точки, лежащие на оси вращения. Таким образом, центр $O$ должен лежать на прямой $l$.

Ответ: Доказано, что прямая $l$ проходит через центр $O$ описанной сферы.

Доказательство для центра I вписанной сферы

Центр $I$ вписанной сферы — это центр единственной сферы, касающейся всех четырех граней пирамиды: $\triangle ABC$, $\triangle ADC$, $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Точка $I$ однозначно определяется этими четырьмя гранями.

Рассмотрим, как вращение $S$ действует на грани пирамиды. Грань $\triangle ABC$ переходит в грань, образованную образами ее вершин: $\triangle S(A)S(B)S(C) = \triangle CDA$. Аналогично, $S(\triangle ADC) = \triangle CBA$, $S(\triangle ABD) = \triangle CDB$, $S(\triangle BCD) = \triangle DAB$. Таким образом, множество четырех граней пирамиды инвариантно относительно преобразования $S$.

Поскольку вписанная сфера однозначно определяется касанием к этим четырем граням, она также должна быть инвариантна относительно преобразования $S$. Сфера переходит сама в себя.

Центр сферы $I$ должен быть неподвижной точкой при вращении $S$, то есть $S(I) = I$.

Так как единственными неподвижными точками при вращении на $180^\circ$ являются точки на оси вращения, центр $I$ должен лежать на прямой $l$.

Ответ: Доказано, что прямая $l$ проходит через центр $I$ вписанной сферы.

Доказательство для точки M, в которой пересекаются отрезки, соединяющие каждую вершину пирамиды с точкой пересечения медиан противоположной грани

Точка $M$, определенная в условии, является центром масс (центроидом) тетраэдра. Если вершины имеют радиус-векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, то радиус-вектор точки $M$ равен $\vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$. Точка $M$ однозначно определяется положением вершин пирамиды.

Применим вращение $S$ к точке $M$. Так как $S$ является линейным преобразованием (в системе координат с началом на прямой $l$), оно действует на радиус-вектор точки следующим образом: $S(\vec{m}) = S\left(\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})\right) = \frac{1}{4}(S(\vec{a})+S(\vec{b})+S(\vec{c})+S(\vec{d}))$.

Используя установленные ранее соотношения $S(\vec{a})=\vec{c}$, $S(\vec{b})=\vec{d}$, $S(\vec{c})=\vec{a}$ и $S(\vec{d})=\vec{b}$, получаем:$S(\vec{m}) = \frac{1}{4}(\vec{c}+\vec{d}+\vec{a}+\vec{b}) = \frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}) = \vec{m}$.

Это означает, что точка $M$ является неподвижной точкой для преобразования $S$, то есть $S(M) = M$.

Следовательно, точка $M$ должна лежать на оси вращения $l$.

Ответ: Доказано, что прямая $l$ проходит через точку $M$, в которой пересекаются отрезки, соединяющие каждую вершину пирамиды с точкой пересечения медиан противоположной грани.