Номер 1154, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1154. В треугольной пирамиде $ABCD$ ребро $AB$ равно $m$, высоты $AA_1$ и $BB_1$ граней $ACD$ и $BCD$ соответственно равны $a$ и $b$, отрезок $A_1B_1$ равен $n$. Найдите величину двугранного угла $CD$.

Пусть $\phi$ — искомый двугранный угол при ребре $CD$. По определению, величина двугранного угла измеряется величиной его линейного угла.

В грани $ACD$ проведена высота $AA_1$ к стороне $CD$, следовательно, $AA_1 \perp CD$. В грани $BCD$ проведена высота $BB_1$ к стороне $CD$, следовательно, $BB_1 \perp CD$. Так как $A_1$ и $B_1$ являются основаниями высот, опущенных на прямую $CD$, они лежат на этой прямой.

Поскольку обе прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны ребру $CD$, угол между этими прямыми является линейным углом двугранного угла при ребре $CD$. Таким образом, $\phi$ — это угол между прямыми $AA_1$ и $BB_1$.

Для нахождения этого угла воспользуемся векторным методом. Рассмотрим замкнутый контур, образованный точками $A, A_1, B_1, B$. Вектор $\vec{AB}$ можно выразить через векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{B_1B}$ следующим образом:

$\vec{AB} = \vec{AA_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B}$

Выразим вектор $\vec{B_1B}$ через $\vec{BB_1}$: $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1}$. Подставим это в уравнение:

$\vec{AB} = \vec{AA_1} + \vec{A_1B_1} - \vec{BB_1}$

Возведем обе части этого векторного равенства в квадрат (скалярно умножим на себя):

$|\vec{AB}|^2 = (\vec{AA_1} + \vec{A_1B_1} - \vec{BB_1}) \cdot (\vec{AA_1} + \vec{A_1B_1} - \vec{BB_1})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{AA_1}|^2 + |\vec{A_1B_1}|^2 + |\vec{BB_1}|^2 + 2(\vec{AA_1} \cdot \vec{A_1B_1}) - 2(\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1}) - 2(\vec{A_1B_1} \cdot \vec{BB_1})$

По условию, $AA_1 \perp CD$ и $BB_1 \perp CD$. Точки $A_1$ и $B_1$ лежат на прямой $CD$, поэтому вектор $\vec{A_1B_1}$ коллинеарен прямой $CD$. Отсюда следует, что векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ перпендикулярны вектору $\vec{A_1B_1}$. Поэтому их скалярные произведения равны нулю:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{A_1B_1} = 0$

$\vec{A_1B_1} \cdot \vec{BB_1} = 0$

Уравнение упрощается до вида:

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{AA_1}|^2 + |\vec{A_1B_1}|^2 + |\vec{BB_1}|^2 - 2(\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1})$

Подставим известные из условия величины: $|\vec{AB}| = m$, $|\vec{AA_1}| = a$, $|\vec{BB_1}| = b$, $|\vec{A_1B_1}| = n$.

$m^2 = a^2 + n^2 + b^2 - 2(\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1})$

Скалярное произведение векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ равно произведению их длин на косинус угла между ними. Угол между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ и есть искомый двугранный угол $\phi$.

$\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{BB_1}| \cdot \cos\phi = ab\cos\phi$

Подставляем это выражение в наше уравнение:

$m^2 = a^2 + b^2 + n^2 - 2ab\cos\phi$

Теперь выразим из этого уравнения $\cos\phi$:

$2ab\cos\phi = a^2 + b^2 + n^2 - m^2$

$\cos\phi = \frac{a^2 + b^2 + n^2 - m^2}{2ab}$

Следовательно, величина двугранного угла равна:

$\phi = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 + n^2 - m^2}{2ab}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{a^2 + b^2 + n^2 - m^2}{2ab}\right)$