Номер 1148, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1148. В шар вписана прямая треугольная призма, стороны основания которой 2 м, 2 м и 3,2 м. Поверхность призмы равна 18,24 м². Найдите поверхность шара.

Для решения задачи нам необходимо найти радиус шара $R$, в который вписана призма. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$.

Радиус шара, описанного около прямой призмы, связан с высотой призмы $h$ и радиусом окружности, описанной около основания призмы $r_{оп}$, следующим соотношением:

$R^2 = r_{оп}^2 + (\frac{h}{2})^2$

Таким образом, наша задача сводится к нахождению высоты призмы $h$ и радиуса описанной около основания окружности $r_{оп}$.

1. Нахождение высоты призмы $h$.

Полная поверхность призмы $S_{призмы}$ складывается из двух площадей основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{призмы} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Основанием призмы является треугольник со сторонами $a = 2$ м, $b = 2$ м и $c = 3,2$ м. Это равнобедренный треугольник. Найдем его площадь по формуле Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2+2+3,2}{2} = \frac{7,2}{2} = 3,6$ м.

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{3,6(3,6-2)(3,6-2)(3,6-3,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 1,6 \cdot 1,6 \cdot 0,4} = \sqrt{3,6864} = 1,92$ м².

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ можно выразить из формулы полной поверхности:

$S_{бок} = S_{призмы} - 2S_{осн} = 18,24 - 2 \cdot 1,92 = 18,24 - 3,84 = 14,4$ м².

Площадь боковой поверхности прямой призмы также равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. Периметр основания:

$P_{осн} = a+b+c = 2+2+3,2 = 7,2$ м.

Отсюда находим высоту призмы $h$:

$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{14,4}{7,2} = 2$ м.

2. Нахождение радиуса описанной окружности $r_{оп}$.

Радиус окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле:

$r_{оп} = \frac{abc}{4S_{осн}}$

Подставим известные значения:

$r_{оп} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3,2}{4 \cdot 1,92} = \frac{12,8}{7,68} = \frac{5}{3}$ м.

3. Нахождение радиуса шара $R$ и площади его поверхности.

Теперь мы можем найти квадрат радиуса шара:

$R^2 = r_{оп}^2 + (\frac{h}{2})^2 = (\frac{5}{3})^2 + (\frac{2}{2})^2 = \frac{25}{9} + 1^2 = \frac{25}{9} + \frac{9}{9} = \frac{34}{9}$ м².

Наконец, найдем площадь поверхности шара:

$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \frac{34}{9} = \frac{136\pi}{9}$ м².

Ответ: $\frac{136\pi}{9}$ м².