Номер 1144, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1144. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, диагональ которой является биссектрисой угла при большем основании, равном 12 см. Найдите объем пирамиды, учитывая, что высота трапеции равна высоте пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Рассмотрим основание пирамиды — равнобедренную трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD = 12$ см. Пусть диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$. Обозначим $\angle CAB = \angle CAD = x$. Тогда $\angle DAB = 2x$.

2. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$. Таким образом, $\angle BCA = x$.

3. В треугольнике $ABC$ два угла равны: $\angle CAB = \angle BCA = x$. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.

4. По условию трапеция $ABCD$ равнобедренная, поэтому $AB = CD$. Из этого и предыдущего пункта следует, что три стороны трапеции равны между собой: $AB = BC = CD$. Обозначим длину этих сторон как $a$.

5. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому $\angle CDA = \angle DAB = 2x$.

6. Рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма его углов равна $180^\circ$. $\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$ $x + 2x + \angle ACD = 180^\circ \implies \angle ACD = 180^\circ - 3x$. Применим к треугольнику $ACD$ теорему синусов: $\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}$ $\frac{a}{\sin(x)} = \frac{12}{\sin(180^\circ - 3x)}$ $\frac{a}{\sin(x)} = \frac{12}{\sin(3x)}$ Используя формулу синуса тройного угла $\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)$, получаем: $a \cdot (3\sin(x) - 4\sin^3(x)) = 12\sin(x)$. Так как $x$ — угол в треугольнике, $\sin(x) \neq 0$. Разделим обе части на $\sin(x)$: $a(3 - 4\sin^2(x)) = 12$.

7. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$: $HD = CD \cdot \cos(\angle CDA) = a \cdot \cos(2x)$. В равнобедренной трапеции отрезок $HD$ также можно найти по формуле: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - a}{2}$. Приравнивая два выражения для $HD$, получаем: $a \cdot \cos(2x) = \frac{12 - a}{2}$.

8. Полученная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Однако, задачи такого типа обычно предполагают частный случай, который приводит к "красивому" ответу. Часто таким случаем является наличие прямого угла. Предположим, что диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$. Тогда из пункта 6: $180^\circ - 3x = 90^\circ \implies 3x = 90^\circ \implies x = 30^\circ$. При этом значении углы трапеции равны: $\angle A = \angle D = 2x = 60^\circ$. $\angle B = \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

9. Теперь найдем сторону $a$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ (с $\angle ACD=90^\circ$ и $\angle CAD=30^\circ$): $CD = AD \cdot \sin(\angle CAD) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см. Итак, $a=6$ см. Соответственно, $BC=6$ см, $AB=CD=6$ см.

10. Найдем высоту трапеции $h$. Из прямоугольного треугольника $CHD$: $h = CH = CD \cdot \sin(\angle D) = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

11. По условию, высота пирамиды $H$ равна высоте трапеции $h$: $H = h = 3\sqrt{3}$ см.

12. Найдем площадь основания (трапеции): $S_{осн} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{12 + 6}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см$^2$.

13. Наконец, найдем объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 27\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 27 \cdot (\sqrt{3})^2 = 27 \cdot 3 = 81$ см$^3$.

Ответ: $81 \text{ см}^3$.