Номер 1141, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1141. В правильной восьмиугольной пирамиде с объемом $V$ боковое ребро втрое больше радиуса описанной около ее основания окружности (рис. 347). Найдите этот радиус.

Рис. 347

Пусть $R$ - радиус описанной около основания окружности, $L$ - боковое ребро пирамиды, $H$ - высота пирамиды, а $S_{осн}$ - площадь основания.

По условию задачи, объем пирамиды равен $V$, а боковое ребро втрое больше радиуса описанной около основания окружности, то есть $L = 3R$.

Основанием пирамиды является правильный восьмиугольник. Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, вычисляется по формуле: $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$.

Для восьмиугольника ($n=8$): $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{8}\right) = 4R^2 \sin(45^\circ) = 4R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}R^2$.

В правильной пирамиде высота $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро $L$ связаны соотношением по теореме Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где $L$ - гипотенуза: $H^2 + R^2 = L^2$.

Подставим известное соотношение $L = 3R$ в это уравнение, чтобы найти высоту $H$ через $R$: $H^2 + R^2 = (3R)^2$ $H^2 + R^2 = 9R^2$ $H^2 = 9R^2 - R^2 = 8R^2$ $H = \sqrt{8R^2} = 2\sqrt{2}R$ (так как высота является положительной величиной).

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Подставим найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$ через $R$ в формулу объема: $V = \frac{1}{3} (2\sqrt{2}R^2) \cdot (2\sqrt{2}R) = \frac{1}{3} \cdot (2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}) \cdot R^3 = \frac{1}{3} \cdot (4 \cdot 2) \cdot R^3 = \frac{8}{3}R^3$.

Теперь выразим $R$ из полученного уравнения: $R^3 = \frac{3V}{8}$ $R = \sqrt[3]{\frac{3V}{8}} = \frac{\sqrt[3]{3V}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{3V}}{2}$.

Ответ: $R = \frac{\sqrt[3]{3V}}{2}$.