Номер 1135, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1135. В основании усеченной пирамиды лежат правильные треугольники со сторонами $a$ и $b$, одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно $c$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней. В основании лежат правильные треугольники, поэтому усеченная пирамида имеет три боковые грани, которые являются трапециями. Обозначим вершины нижнего основания $A, B, C$ со стороной $a$, а вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1$ со стороной $b$. По условию, одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Пусть это ребро $AA_1$, его длина равна $c$.

1. Площади граней $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$

Поскольку ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, оно перпендикулярно ребрам $AB$ и $AC$, которые лежат в этой плоскости. Таким образом, боковые грани $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$ являются прямоугольными трапециями. Основания этих трапеций равны $a$ и $b$, а высота равна длине ребра $AA_1$, то есть $c$.

Площадь прямоугольной трапеции вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту. Площадь каждой из этих двух граней равна:

$S_{ABB_1A_1} = S_{ACC_1A_1} = \frac{a+b}{2}c$

Сумма площадей этих двух граней составляет:

$S_1 = S_{ABB_1A_1} + S_{ACC_1A_1} = 2 \cdot \frac{a+b}{2}c = (a+b)c$

2. Площадь грани $BCC_1B_1$

Третья боковая грань $BCC_1B_1$ также является трапецией с основаниями $BC=a$ и $B_1C_1=b$. Чтобы найти ее площадь, нужно определить ее высоту. Для этого сначала найдем длины боковых сторон $BB_1$ и $CC_1$.

Рассмотрим ребро $BB_1$. Его длина может быть найдена по теореме Пифагора в пространстве. Проекция ребра $BB_1$ на плоскость нижнего основания — это отрезок, соединяющий вершину $B$ с проекцией вершины $B_1$. Так как основания — подобные правильные треугольники, а ребро $AA_1$ перпендикулярно им, проекция $B_1$ на нижнюю плоскость (назовем ее $P$) будет находиться на расстоянии $b$ от точки $A$ в направлении точки $B$. Тогда расстояние $PB$ равно $|a-b|$. Вертикальное расстояние между точками $B$ и $B_1$ равно высоте пирамиды $c$. Тогда длина ребра $BB_1$ равна:

$l_{BB_1}^2 = c^2 + (a-b)^2 \implies l_{BB_1} = \sqrt{c^2 + (a-b)^2}$

Аналогичные рассуждения верны и для ребра $CC_1$, поэтому $l_{CC_1} = \sqrt{c^2 + (a-b)^2}$.

Так как боковые стороны трапеции $BCC_1B_1$ равны ($BB_1 = CC_1$), она является равнобокой. Высоту $h_{BC}$ равнобокой трапеции можно найти по формуле:

$h_{BC} = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$, где $l$ — длина боковой стороны.

$h_{BC} = \sqrt{\left(\sqrt{c^2 + (a-b)^2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{c^2 + (a-b)^2 - \frac{(a-b)^2}{4}} = \sqrt{c^2 + \frac{3(a-b)^2}{4}}$

Вынесем $1/4$ из-под корня:

$h_{BC} = \frac{1}{2}\sqrt{4c^2 + 3(a-b)^2}$

Теперь можем найти площадь грани $BCC_1B_1$:

$S_2 = S_{BCC_1B_1} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{BC} = \frac{a+b}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{4c^2 + 3(a-b)^2} = \frac{a+b}{4}\sqrt{4c^2 + 3(a-b)^2}$

3. Общая площадь боковой поверхности

Полная площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех трех граней:

$S_{бок} = S_1 + S_2 = (a+b)c + \frac{a+b}{4}\sqrt{4c^2 + 3(a-b)^2}$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки, чтобы получить окончательный вид формулы:

$S_{бок} = (a+b)\left(c + \frac{1}{4}\sqrt{4c^2 + 3(a-b)^2}\right)$

Также можно привести выражение в скобках к общему знаменателю:

$S_{бок} = \frac{a+b}{4}\left(4c + \sqrt{4c^2 + 3(a-b)^2}\right)$

Ответ: $S_{бок} = (a+b)c + \frac{a+b}{4}\sqrt{4c^2 + 3(a-b)^2}$