Номер 1130, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1130. В основании четырехугольной пирамиды лежит параллелограмм с диагональю 3 см и сторонами 4 см и 5 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и равна 2 см (рис. 344). Найдите полную поверхность пирамиды.

Рис. 344

Полная поверхность пирамиды вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).
В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами $a = 4$ см, $b = 5$ см и диагональю $d_1 = 3$ см. Эта диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Стороны каждого такого треугольника равны 4 см, 5 см и 3 см. Площадь такого треугольника можно найти по формуле Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр. Вычислим полупериметр:$p = (4 + 5 + 3) / 2 = 12 / 2 = 6$ см. Теперь найдем площадь одного треугольника:$S_{\triangle} = \sqrt{6(6-4)(6-5)(6-3)} = \sqrt{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$ см$^2$. Площадь основания (параллелограмма) равна удвоенной площади этого треугольника:$S_{осн} = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 6 = 12$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).
Боковая поверхность состоит из четырех треугольников. Так как высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, то противолежащие боковые грани равны. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих треугольников. Для нахождения их площадей нужно найти высоты боковых граней (апофемы).

Сначала найдем высоты параллелограмма основания. Пусть $h_a$ и $h_b$ — высоты, проведенные к сторонам $a=4$ см и $b=5$ см соответственно.$S_{осн} = a \cdot h_a \Rightarrow 12 = 4 \cdot h_a \Rightarrow h_a = 3$ см.$S_{осн} = b \cdot h_b \Rightarrow 12 = 5 \cdot h_b \Rightarrow h_b = 2.4$ см.

Высота пирамиды $H=2$ см опущена в точку пересечения диагоналей O. Расстояния от точки O до сторон параллелограмма равны половинам соответствующих высот параллелограмма. Расстояние от точки O до стороны $a=4$ см: $m_a = h_a / 2 = 3 / 2 = 1.5$ см. Расстояние от точки O до стороны $b=5$ см: $m_b = h_b / 2 = 2.4 / 2 = 1.2$ см.

Теперь найдем апофемы (высоты боковых граней), используя теорему Пифагора. Апофема $l_a$ к стороне $a=4$ см:$l_a = \sqrt{H^2 + m_a^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5$ см. Апофема $l_b$ к стороне $b=5$ см:$l_b = \sqrt{H^2 + m_b^2} = \sqrt{2^2 + 1.2^2} = \sqrt{4 + 1.44} = \sqrt{5.44} = \sqrt{16 \cdot 34 / 100} = \frac{4\sqrt{34}}{10} = \frac{2\sqrt{34}}{5}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности. Она состоит из двух пар равных треугольников:$S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} a \cdot l_a) + 2 \cdot (\frac{1}{2} b \cdot l_b) = a \cdot l_a + b \cdot l_b$.$S_{бок} = 4 \cdot 2.5 + 5 \cdot \frac{2\sqrt{34}}{5} = 10 + 2\sqrt{34}$ см$^2$.

3. Найдем полную поверхность пирамиды ($S_{полн}$).
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 12 + (10 + 2\sqrt{34}) = 22 + 2\sqrt{34}$ см$^2$.

Ответ: $22 + 2\sqrt{34}$ см$^2$.