Номер 1126, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1126. Сечение правильной треугольной призмы с ребром основания $a$ проходит через боковое ребро перпендикулярно противоположной боковой грани и имеет площадь $Q$. Найдите полную поверхность призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. В ее основании лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Высота призмы равна $h$.

Сечение проходит через боковое ребро, например, $AA_1$, и перпендикулярно противоположной боковой грани $BCC_1B_1$. Так как призма правильная, ее боковые грани перпендикулярны основаниям. Плоскость сечения содержит ребро $AA_1$, которое перпендикулярно основанию $ABC$. Следовательно, линия пересечения плоскости сечения с плоскостью основания должна быть перпендикулярна линии пересечения грани $BCC_1B_1$ с основанием. Линия пересечения грани $BCC_1B_1$ с основанием $ABC$ - это сторона $BC$. Значит, сечение пересекает основание по отрезку $AK$, где $AK \perp BC$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $AK$ является высотой. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$AK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Сечение представляет собой прямоугольник $AKK_1A_1$, стороны которого - это высота основания $AK$ и боковое ребро (высота призмы) $AA_1 = h$. Площадь этого сечения по условию равна $Q$:
$S_{сеч} = AK \cdot AA_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot h = Q$.

Из этого соотношения мы можем выразить высоту призмы $h$:
$h = \frac{2Q}{a\sqrt{3}}$.

Полная поверхность призмы $S_{полн}$ равна сумме площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь одного основания (равностороннего треугольника со стороной $a$):
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $h$. Периметр основания $P_{осн} = 3a$.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 3a \cdot \frac{2Q}{a\sqrt{3}} = \frac{6Q}{\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$S_{бок} = \frac{6Q\sqrt{3}}{3} = 2Q\sqrt{3}$.

Теперь найдем полную поверхность призмы, подставив найденные значения:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 2Q\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 2Q\sqrt{3}$.
Можно вынести общий множитель за скобку: $S_{полн} = \sqrt{3} \left(\frac{a^2}{2} + 2Q\right)$.
Ответ: $ \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 2Q\sqrt{3} $.