Номер 1127, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1127. Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы равна $180 \text{ см}^2$. Найдите полную поверхность призмы, учитывая, что ее наибольшая диагональ равна 13 см.

Обозначим сторону основания правильной шестиугольной призмы как $a$, а ее высоту как $h$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной призмы вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$. Периметр правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $P_{осн} = 6a$.

По условию, $S_{бок} = 180 \text{ см}^2$, следовательно:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 6ah$

$180 = 6ah$

$ah = 30$

Это наше первое уравнение.

Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы ($D$) соединяет две противоположные вершины на разных основаниях. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота призмы $h$ и наибольшая диагональ основания $d_{осн}$.

Наибольшая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $d_{осн} = 2a$.

По теореме Пифагора:

$D^2 = h^2 + d_{осн}^2$

Подставим известные значения $D = 13$ см и $d_{осн} = 2a$:

$13^2 = h^2 + (2a)^2$

$169 = h^2 + 4a^2$

Это наше второе уравнение.

Теперь решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} ah = 30 \\ h^2 + 4a^2 = 169 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $h$: $h = \frac{30}{a}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{30}{a})^2 + 4a^2 = 169$

$\frac{900}{a^2} + 4a^2 = 169$

Умножим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a > 0$):

$900 + 4a^4 = 169a^2$

$4a^4 - 169a^2 + 900 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $x = a^2$ (где $x > 0$):

$4x^2 - 169x + 900 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D_{x} = (-169)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 900 = 28561 - 14400 = 14161 = 119^2$

$x_{1} = \frac{169 - 119}{2 \cdot 4} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$

$x_{2} = \frac{169 + 119}{2 \cdot 4} = \frac{288}{8} = 36$

Оба корня положительные, значит, существуют два возможных набора размеров призмы.

Вернемся к замене $a^2 = x$:

1) $a^2 = \frac{25}{4} \implies a = \frac{5}{2} = 2.5$ см. Тогда $h = \frac{30}{2.5} = 12$ см.

2) $a^2 = 36 \implies a = 6$ см. Тогда $h = \frac{30}{6} = 5$ см.

Теперь найдем полную поверхность призмы $S_{полн}$. Она равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания $S_{осн}$.

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Тогда формула для полной поверхности:

$S_{полн} = 180 + 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 180 + 3\sqrt{3}a^2$

Рассмотрим оба возможных случая:

1) Если $a^2 = \frac{25}{4}$:

$S_{полн} = 180 + 3\sqrt{3} \cdot \frac{25}{4} = 180 + \frac{75\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$.

2) Если $a^2 = 36$:

$S_{полн} = 180 + 3\sqrt{3} \cdot 36 = 180 + 108\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Оба ответа являются математически верными решениями. В задачах такого типа обычно подразумевается один ответ, но в данном случае условия допускают два варианта.

Ответ: $S_{полн} = (180 + 108\sqrt{3}) \text{ см}^2$ или $S_{полн} = (180 + \frac{75\sqrt{3}}{4}) \text{ см}^2$.