Номер 1122, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1122. Две боковые грани наклонной треугольной призмы взаимно перпендикулярны, их общее ребро длиной 24 см отстоит от других ребер на 12 см и 35 см (рис. 342). Найдите боковую поверхность призмы.

Рис. 342

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы. Перпендикулярное сечение — это сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам.

В перпендикулярном сечении стороны равны расстояниям между боковыми ребрами, а углы равны двугранным углам между боковыми гранями. По условию, две боковые грани взаимно перпендикулярны, следовательно, угол между соответствующими сторонами в перпендикулярном сечении равен $90^\circ$. Таким образом, перпендикулярное сечение является прямоугольным треугольником.

Расстояния от общего ребра этих перпендикулярных граней до двух других ребер равны 12 см и 35 см. Эти расстояния являются катетами прямоугольного треугольника в сечении. Обозначим их $a = 12$ см и $b = 35$ см.

Найдем гипотенузу $c$ этого треугольника по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 35^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = 37$ см.

Теперь вычислим периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$:

$P_{\perp} = a + b + c = 12 + 35 + 37 = 84$ см.

Длина бокового ребра призмы по условию равна $l = 24$ см. Зная периметр перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, находим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 84 \cdot 24 = 2016$ см².

Ответ: $2016$ см².