Номер 1118, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1118. Грани $ABB_1$ и $BCC_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольники. Учитывая, что длины отрезков $AB, BC, BB_1, B_1D$ пропорциональны числам 5, 1, 2, 5, найдите двугранные углы $BB_1$ и $CC_1$.

По условию, грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются прямоугольниками. Это означает, что боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно ребрам основания $AB$ и $BC$. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а сам параллелепипед является прямым.

Двугранный угол при ребре $BB_1$ — это угол между боковыми гранями $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Так как параллелепипед прямой, мерой этого двугранного угла является линейный угол $\angle ABC$ в основании. Аналогично, двугранный угол при ребре $CC_1$ измеряется линейным углом $\angle BCD$. Задача сводится к нахождению углов $\angle ABC$ и $\angle BCD$ параллелограмма $ABCD$.

Из условия известно, что длины отрезков $AB$, $BC$, $BB_1$ и диагонали $B_1D$ пропорциональны числам 5, 1, 2, 5. Введем коэффициент пропорциональности $k > 0$. Тогда имеем следующие длины: $AB = 5k$, $BC = k$, $BB_1 = 2k$, $B_1D = 5k$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BD$. Так как $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, то $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе диагонали $BD$. Следовательно, $\triangle B_1BD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. По теореме Пифагора найдем квадрат длины диагонали основания $BD$:

$BD^2 = B_1D^2 - BB_1^2 = (5k)^2 - (2k)^2 = 25k^2 - 4k^2 = 21k^2$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$ в основании параллелепипеда. Его стороны: $AB = 5k$ и $AD = BC = k$. Мы нашли квадрат его третьей стороны $BD^2 = 21k^2$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов, чтобы найти угол $\angle BAD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$

Подставим известные значения:

$21k^2 = (5k)^2 + k^2 - 2 \cdot (5k) \cdot k \cdot \cos(\angle BAD)$

$21k^2 = 25k^2 + k^2 - 10k^2 \cdot \cos(\angle BAD)$

$21k^2 = 26k^2 - 10k^2 \cdot \cos(\angle BAD)$

Разделив обе части уравнения на $k^2$ (где $k \neq 0$), получим:

$21 = 26 - 10 \cos(\angle BAD)$

$10 \cos(\angle BAD) = 26 - 21 = 5$

$\cos(\angle BAD) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $\angle BAD = 60^\circ$.

Зная один угол параллелограмма $ABCD$, мы можем найти остальные. Углы $\angle ABC$ и $\angle BAD$ — соседние, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Угол $\angle BCD$ является противоположным углу $\angle BAD$ в параллелограмме, поэтому они равны, но в данном контексте $\angle BCD$ является соседним с $\angle ABC$, так что $\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Также можно сказать, что $\angle BCD$ и $\angle BAD$ являются противолежащими углами, если бы диагональ была AC, но здесь мы рассматриваем углы последовательно, поэтому они смежные.

Таким образом, двугранный угол при ребре $BB_1$, равный $\angle ABC$, составляет $120^\circ$, а двугранный угол при ребре $CC_1$, равный $\angle BCD$, составляет $60^\circ$.

Ответ: двугранный угол при ребре $BB_1$ равен $120^\circ$, двугранный угол при ребре $CC_1$ равен $60^\circ$.