Номер 1112, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1112. Правильная шестиугольная призма диагональной плоскостью разделяется на две равные четырехугольные призмы, боковая поверхность каждой из которых равна $30 \text{ см}^2$. Учитывая, что боковое ребро призмы равно $3 \text{ см}$, найдите:

а) площадь боковой поверхности шестиугольной призмы;

б) площадь полной поверхности шестиугольной призмы;

в) площади диагональных сечений шестиугольной призмы;

г) объем шестиугольной призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — ее боковое ребро (высота). Из условия задачи известно, что высота призмы $h = 3$ см.

Правильная шестиугольная призма разделяется диагональной плоскостью на две равные четырехугольные призмы. Это возможно только в том случае, если плоскость проходит через самую длинную диагональ основания (соединяющую две противоположные вершины). Длина этой диагонали равна $d_1 = 2a$.

В результате такого деления образуются две призмы, основаниями которых являются равнобокие трапеции со сторонами $a$, $a$, $a$ и $2a$ (большее основание). Боковая поверхность каждой из этих новых призм складывается из площадей трех боковых граней исходной шестиугольной призмы и площади самого диагонального сечения, которое стало новой боковой гранью.

Площадь боковой поверхности четырехугольной призмы ($S_{бок.4}$) можно выразить так: $S_{бок.4} = (a \cdot h) + (a \cdot h) + (a \cdot h) + (2a \cdot h) = 3ah + 2ah = 5ah$.

По условию, $S_{бок.4} = 30$ см², а $h = 3$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти сторону основания $a$: $30 = 5 \cdot a \cdot 3$ $30 = 15a$ $a = \frac{30}{15} = 2$ см.

Теперь, зная сторону основания $a=2$ см и высоту $h=3$ см, мы можем найти все требуемые величины.

а) площадь боковой поверхности шестиугольной призмы;

Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы $S_{бок.6}$ равна произведению периметра ее основания $P_6$ на высоту $h$. Периметр основания: $P_6 = 6a = 6 \cdot 2 = 12$ см. Площадь боковой поверхности: $S_{бок.6} = P_6 \cdot h = 12 \cdot 3 = 36$ см².

Ответ: $36 \text{ см}^2$.

б) площадь полной поверхности шестиугольной призмы;

Площадь полной поверхности $S_{полн.6}$ вычисляется как сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания $S_{осн.6}$. $S_{полн.6} = S_{бок.6} + 2S_{осн.6}$.

Площадь правильного шестиугольника сo стороной $a$ находится по формуле: $S_{осн.6} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение $a = 2$ см: $S_{осн.6} = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь полной поверхности: $S_{полн.6} = 36 + 2 \cdot (6\sqrt{3}) = 36 + 12\sqrt{3}$ см².

Ответ: $(36 + 12\sqrt{3}) \text{ см}^2$.

в) площади диагональных сечений шестиугольной призмы;

В правильной шестиугольной призме есть два вида диагональных сечений, которые являются прямоугольниками.

1. Сечение, проходящее через большую диагональ основания. Длина большой диагонали $d_1 = 2a = 2 \cdot 2 = 4$ см. Площадь этого сечения: $S_{сеч.1} = d_1 \cdot h = 4 \cdot 3 = 12$ см².

2. Сечение, проходящее через меньшую диагональ основания. Длина меньшей диагонали $d_2 = a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см. Площадь этого сечения: $S_{сеч.2} = d_2 \cdot h = 2\sqrt{3} \cdot 3 = 6\sqrt{3}$ см².

Ответ: $12 \text{ см}^2$ и $6\sqrt{3} \text{ см}^2$.

г) объем шестиугольной призмы.

Объем призмы $V$ равен произведению площади ее основания $S_{осн.6}$ на высоту $h$. $V = S_{осн.6} \cdot h$. Мы уже вычислили площадь основания: $S_{осн.6} = 6\sqrt{3}$ см². $V = 6\sqrt{3} \cdot 3 = 18\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $18\sqrt{3} \text{ см}^3$.