Номер 1107, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1107. В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равносторонний треугольник $ABC$. Сфера, радиус которой равен ребру основания призмы, касается плоскости $A_1B_1C_1$ и продолжений отрезков $AB_1$, $BC_1$ и $CA_1$ за точки $B_1$, $C_1$ и $A_1$ соответственно. Найдите ребро основания призмы, учитывая, что боковые ребра равны 2.

Обозначим сторону основания призмы, равностороннего треугольника $ABC$, через $a$. По условию, радиус сферы $R$ равен ребру основания, то есть $R=a$. Высота призмы (длина боковых ребер) равна $h=2$.

Введем систему координат. Пусть начало координат находится в точке $A$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ лежит в плоскости основания $ABC$, а ось $Oz$ направлена вдоль бокового ребра $AA_1$.

Координаты вершин призмы:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (a, 0, 0)$
• $C = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $A_1 = (0, 0, 2)$
• $B_1 = (a, 0, 2)$
• $C_1 = (a/2, a\sqrt{3}/2, 2)$

Пусть центр сферы $O$ имеет координаты $(x_O, y_O, z_O)$.

1. Определение координат центра сферы

Сфера касается плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Уравнение этой плоскости $z=2$. Расстояние от центра сферы $O(x_O, y_O, z_O)$ до этой плоскости равно радиусу $R=a$.

$|z_O - 2| = a$

Сфера также касается продолжений отрезков $AB_1$, $BC_1$, $CA_1$ за точки $B_1$, $C_1$, $A_1$ соответственно. Это означает, что сфера находится "над" верхним основанием призмы. Следовательно, $z_O > 2$. Тогда $z_O - 2 = a$, откуда $z_O = a+2$.

Линии, содержащие отрезки $AB_1$, $BC_1$ и $CA_1$, симметричны относительно оси призмы. Ось призмы проходит через центроиды оснований. Центр сферы $O$ должен быть равноудален от этих трех линий, поэтому он должен лежать на оси симметрии призмы.

Найдем координаты центроида $M$ треугольника $ABC$:

$x_M = \frac{0+a+a/2}{3} = \frac{a}{2}$

$y_M = \frac{0+0+a\sqrt{3}/2}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Таким образом, ось призмы - это прямая $x = a/2, y = a\sqrt{3}/6$. Координаты центра сферы $O$:

$O = (a/2, a\sqrt{3}/6, a+2)$

2. Использование условия касания для нахождения ребра основания

Расстояние от центра сферы $O$ до прямой, содержащей отрезок $AB_1$, должно быть равно радиусу $R=a$.

Найдем это расстояние. Прямая $AB_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $B_1(a,0,2)$.

Можно использовать формулу расстояния от точки до прямой в пространстве, но проще вычислить его с помощью проекций.

Прямая $AB_1$ лежит в плоскости $y=0$. Расстояние от точки $O(x_O, y_O, z_O)$ до прямой $AB_1$ можно найти по теореме Пифагора. Пусть $O'$ - проекция точки $O$ на плоскость $y=0$. Тогда $O' = (a/2, 0, a+2)$.

Расстояние от $O$ до плоскости $y=0$ равно $d_1 = |y_O| = a\sqrt{3}/6$.

Теперь найдем расстояние $d_2$ от точки $O'(a/2, a+2)$ до прямой $AB_1$ в плоскости $xz$. Уравнение прямой $AB_1$ в этой плоскости, проходящей через $(0,0)$ и $(a,2)$, имеет вид $z = \frac{2}{a}x$, или $2x - az = 0$.

Расстояние от точки $(x', z')$ до прямой $Ax+Bz+C=0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax'+Bz'+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

$d_2 = \frac{|2(a/2) - a(a+2)|}{\sqrt{2^2 + (-a)^2}} = \frac{|a - a^2 - 2a|}{\sqrt{4+a^2}} = \frac{|-a^2-a|}{\sqrt{4+a^2}} = \frac{a^2+a}{\sqrt{4+a^2}}$ (так как $a>0$).

Полное расстояние $R$ от точки $O$ до прямой $AB_1$ связано с $d_1$ и $d_2$ соотношением $R^2 = d_1^2 + d_2^2$. Подставим известные значения $R=a$, $d_1$ и $d_2$:

$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 + \left(\frac{a^2+a}{\sqrt{4+a^2}}\right)^2$

$a^2 = \frac{3a^2}{36} + \frac{(a(a+1))^2}{4+a^2}$

$a^2 = \frac{a^2}{12} + \frac{a^2(a+1)^2}{4+a^2}$

Так как $a$ - длина ребра, $a \ne 0$. Разделим обе части на $a^2$:

$1 = \frac{1}{12} + \frac{(a+1)^2}{4+a^2}$

$1 - \frac{1}{12} = \frac{(a+1)^2}{4+a^2}$

$\frac{11}{12} = \frac{a^2+2a+1}{a^2+4}$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$11(a^2+4) = 12(a^2+2a+1)$

$11a^2 + 44 = 12a^2 + 24a + 12$

$0 = 12a^2 - 11a^2 + 24a + 12 - 44$

$a^2 + 24a - 32 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни:

$a = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4(1)(-32)}}{2(1)} = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 128}}{2} = \frac{-24 \pm \sqrt{704}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{704} = \sqrt{64 \cdot 11} = 8\sqrt{11}$.

$a = \frac{-24 \pm 8\sqrt{11}}{2} = -12 \pm 4\sqrt{11}$

Так как длина ребра $a$ должна быть положительной, выбираем корень со знаком плюс:

$a = -12 + 4\sqrt{11} = 4(\sqrt{11}-3)$

Поскольку $\sqrt{11} \approx 3.317 > 3$, значение $a$ положительно.

Ответ: $4(\sqrt{11}-3)$.